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Distribución Uniforme

Qué representa

Uniforme asigna la misma densidad a todos los valores de un intervalo. Es el modelo de máxima simetría cuando solo se conocen dos límites y no hay razón para preferir una zona del soporte.

Pista histórica

La uniforme es una de las construcciones básicas de la probabilidad y la fuente estándar de números aleatorios pseudo-uniformes. Su simplicidad la hace una base para simulación y transformaciones.

Relaciones que aclaran su uso

La transformación de una uniforme genera muchas otras distribuciones: potencias para Power Function, seno cuadrado para Arcoseno y promedios para Bates. La versión discreta reparte masa, no densidad, entre enteros.

Ejemplos de datos

  • muestreo aleatorio dentro de límites conocidos
  • incertidumbre de intervalos, simulación y generación de otras leyes mediante cuantiles

Advertencia de modelado

No usarla como sinónimo de “sin sesgo” en cualquier escala; especificar qué medición debe ser plana.

La regla que transforma un intervalo en un laboratorio

Una variable Uniforme entre cero y uno es la materia prima de la simulación por transformada inversa. Si F es una función de distribución continua, aplicar su cuantil a un uniforme ideal genera una variable con distribución F. Muchas rutinas de Monte Carlo comienzan con esta idea, aunque luego necesiten algoritmos más estables o rápidos.

Entre todas las distribuciones continuas confinadas a límites fijos, la Uniforme maximiza la entropía. Esa propiedad formaliza una ausencia muy concreta de preferencia dentro del intervalo. No justifica escogerla si solo conocemos un mínimo y un máximo dudosos, ni si los límites son extremos observados de una muestra. En esos casos, la aparente neutralidad puede ocultar una afirmación demasiado rígida.

Guía de elección

Buena candidata cuando: hay límites firmes y no existe información que haga más plausible una parte del intervalo que otra.

Compárala con: Triangular, PERT y Beta cuando sí hay centro o forma. Estimar los límites únicamente con mínimo y máximo observados subestima normalmente la incertidumbre fuera de la muestra.

Referencias

Distribución Uniforme: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Uniform(a,b)X\sim\mathrm{Uniform}\left(a,b\right)

Dominio de distribución

x∈[a,b]x\in [a,b]

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R,b∈R,a<ba\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R},a < b

Función de distribución acumulada

FX(x)=x−ab−aF_{X}\left(x\right)=\frac{x-a}{b-a}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1b−af_{X}\left(x\right)=\frac{1}{b-a}

Función de punto percentil

FX−1(u)=a+u⋅(b−a)F^{-1}_{X}\left(u\right)=a+u\cdot(b-a)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=1k+1∑i=0kaibk−i\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\frac{1}{k+1}\sum_{i=0}^k a^ib^{k-i}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=12(a+b)\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\tfrac{1}{2}(a+b)

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3−65\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3-\frac{6}{5}

Mediana paramétrica

Median(X)=12(a+b)\mathrm{Median}(X)=\tfrac{1}{2}(a+b)

Moda paramétrica

Mode(X)∈[a,b]\mathrm{Mode}(X)\in [a,b]

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}