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Distribución Dagum 4P

Por qué existe

Dagum 4P incorpora una localización a la distribución de Dagum. Es una versión útil cuando la variable positiva comienza después de un umbral y todavía necesita una cola económica o de fiabilidad flexible.

Nombre alternativo

También se encuentra como four-parameter Dagum o Dagum desplazada. En comparaciones económicas puede aparecer dentro de GB2 con una localización añadida.

Construcciones y límites

Con loc fijado en cero se recupera Dagum de tres parámetros. Mantiene sus relaciones con Burr III, GB2, Beta prime y loglogística, pero la comparación de parámetros exige llevar las dos variables al mismo origen.

Aplicaciones

Puede separar un mínimo de entrada, como una edad, un tamaño detectable o un tiempo de preparación, de la variabilidad posterior. En economía, un umbral de loc debe tener una interpretación institucional, no ser solo una forma de forzar un ajuste.

Antes de interpretar desigualdad o riesgo, comprobar la existencia de momentos después del desplazamiento y reportar qué parte de la escala corresponde al umbral.

Ingresos o tamaños por encima de un origen institucional

Dagum 4P suma una localización al modelo económico de tres parámetros. El piso puede representar una franquicia, una cantidad exenta o un tamaño mínimo de registro. Después de ese punto permanecen las formas que gobiernan desigualdad y cola.

En datos de ingreso, un loc negativo o positivo no siempre tiene una lectura económica razonable aunque mejore la verosimilitud. Puede estar corrigiendo deudas, ceros omitidos o una definición de población incompatible con el modelo. La localización también cambia la curva de Lorenz y las medidas relativas, pues estas no son invariantes a sumar una constante. Por eso conviene justificar el origen institucionalmente y recalcular las medidas de desigualdad con su incertidumbre.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la forma Dagum es adecuada y el proceso posee un piso interpretable por encima de cero.

Compárala con: Dagum sin desplazamiento y Burr 4P. Comprueba que la estimación del piso no dependa casi por completo de una o dos observaciones mínimas.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.mielke — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Dagum, C. (1977). A new model of personal income distribution: Specification and estimation. Swiss Journal of Economics and Statistics, 113, 185–211.
  • Kleiber, C. & Kotz, S. (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences. Wiley.

Distribución Dagum 4P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Dagum4P(a,b,p,Loc)X\sim\mathrm{Dagum_{4P}}\left(a,b,p,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R+,b∈R+,p∈R+,Loc∈Ra\in\mathbb{R}^{+},b\in\mathbb{R}^{+},p\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=(1+(x−Locb)−a)−pF_{X}\left(x\right)={\left(1+{\left(\frac{x-\text{Loc}}{b}\right)}^{-a}\right)}^{-p}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=apx−Loc((x−Locb)ap((x−Locb)a+1)p+1)f_{X}\left(x\right)=\frac{a p}{x-\text{Loc}}\left(\frac{(\tfrac{x-\text{Loc}}{b})^{a p}}{\left((\tfrac{x-\text{Loc}}{b})^a+1\right)^{p+1}}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+b(u−1/p−1)−1/aF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=pbk⋅Beta(ap+ka,a−ka)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=pb^{k}\cdot \text{Beta}\left(\frac{ap+k}{a},\frac{a-k}{a}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+b(−1+21p)−1a\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+b{\left(-1+2^{\tfrac{1}{p}}\right)}^{-\tfrac{1}{a}}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+b(ap−1a+1)1a\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+b{\left(\frac{ap-1}{a+1}\right)}^{\tfrac{1}{a}}

Información y definiciones adicionales

Xˉ∼Dagum(a,b,p)\bar{X}\sim\mathrm{Dagum}\left(a,b,p\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
b:Scale parameterb:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}