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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN SEMICIRCULAR

Definición de distribución

X∼Semicircular(Loc,R)X\sim\mathrm{Semicircular}\left(\text{Loc},R\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in\left[\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

Loc∈R,R∈R+\text{Loc}\in\mathbb{R},R\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=12+z(x)R2−z(x)2πR2+arcsin⁡ ⁣(z(x)R)πF_{X}\left(x\right)=\frac12+\frac{z(x)\sqrt{R^2-z(x)^2}}{\pi R^2}+\frac{\arcsin\!\left(\frac{z(x)}{R}\right)}{\pi}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=2πR2 R2−z(x)2f_{X}\left(x\right)=\frac2{\pi R^2}\,\sqrt{R^2-z(x)^2}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+R×(2I−1(u,1.5,1.5)−1)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+R\times (2I^{-1}\left(u,1.5,1.5\right)-1)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫Loc∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\text{Loc}}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=Loc\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\text{Loc}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=R24\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{R^2}{4}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=2

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
R:Scale parameterR:\text{Scale parameter}
z(x)=x−Locz\left(x\right)= x-\text{Loc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
I−1(x,a,b):Inverse of regularized incomplete beta functionI^{-1}\left(x,a,b\right):\text{Inverse of regularized incomplete beta function}