Distribución Semicircular
La idea en una frase
Semicircular distribuye masa bajo un semicírculo y es una ley acotada y simétrica. loc fija el centro y R el radio, que también determina el intervalo posible.
Soporte e interpretación
El soporte es [loc-R, loc+R]. La densidad se anula en los bordes y alcanza el máximo en el centro, de modo que se diferencia con claridad de Arcoseno.
Un lugar dentro de la familia
Es la distribución de Wigner y está relacionada con la teoría de matrices aleatorias, no con una suma de normales ordinaria. Frente a Uniform, concentra el centro; frente a Arcoseno, evita la acumulación en los extremos.
Una lectura aplicada
En física matemática, la ley describe la densidad espectral global de ciertas matrices cuando el tamaño crece. En datos aplicados puede ser un modelo geométrico, pero su interpretación espectral no se transfiere automáticamente.
No usarla como distribución universal para datos simétricos y acotados: su forma nace de una estructura espectral específica.
Los autovalores llenan un semicírculo
Wigner descubrió que los autovalores de grandes matrices aleatorias simétricas, después de la normalización adecuada, llenan una densidad semicircular. La ley se convirtió en una puerta de entrada a la teoría de matrices aleatorias y a modelos de espectros cuánticos complejos.
En un intervalo reescalado, la distribución equivale a una Beta simétrica con formas tres medios. Su densidad es máxima en el centro y cae a cero en los bordes, justo al contrario de Arcoseno con formas un medio. Los momentos pares de la versión estándar se relacionan con los números de Catalan. Ajustarla a datos acotados puede ser útil, pero la historia matricial requiere muchos autovalores y supuestos sobre la matriz, no solo una curva redondeada.
Guía de elección
Buena candidata cuando: una construcción geométrica o matricial conduce a una densidad simétrica que se anula suavemente en dos límites finitos.
Compárala con: Beta simétrica reescalada y Uniform. Semicircular impone una curvatura muy concreta; no suele ser la primera elección para datos acotados sin teoría generadora.
Referencias
- Referencia de SciPy: scipy.stats.semicircular — definición y parametrización
- Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
- Wigner, E. P. (1955). Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. Annals of Mathematics, 62(3), 548–564.
- Mehta, M. L. (2004). Random Matrices, 3rd ed. Elsevier.