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Distribución Loggamma

Perfil

Loggamma distribuye una variable en toda la recta cuya exponencial o transformación relacionada tiene una estructura Gamma. Permite modelar asimetrías que no caben en una normal, con un parámetro de forma c.

Rasgo Lectura
Soporte El soporte es toda la recta. mu localiza y sigma escala en la parametrización implementada; c determina hacia qué lado se alarga la forma.
Forma Está relacionada con Gamma y lognormal, pero no es una simple normal de logaritmos: la transformación y la forma c crean una asimetría distinta. También puede funcionar como modelo de errores en escala logarítmica.

Origen y terminología

La familia se estudia mediante transformaciones logarítmicas de Gamma y en catálogos de distribuciones continuas. Su identidad depende más de la transformación elegida que de un episodio histórico único.

En modelos reales

  • errores transformados y medidas logarítmicas
  • duraciones, tamaños y residuos asimétricos sobre toda la recta

Comparaciones

Comprobar el convenio de c, ubicación y escala antes de interpretar sesgo: la misma forma visual puede recibir signos opuestos en otro paquete.

Tomar logaritmos a una Gamma abre toda la recta

Si una variable positiva es Gamma, su logaritmo sigue una Loggamma. La transformación extiende el soporte a toda la recta y convierte escalas multiplicativas en desplazamientos. Cuando la forma vale uno, la ley se relaciona por reflexión y localización con Gumbel, pues el logaritmo de una Exponencial produce una forma de valor extremo.

El nombre puede causar ambigüedad: en supervivencia, log-gamma a veces designa parametrizaciones o generalizaciones distintas. La definición de Phitter es la transformación logarítmica explícita. Sus momentos ordinarios se expresan mediante funciones poligamma y todos existen, aunque la densidad sea asimétrica. Para interpretar datos originales, recuerde que volver con la exponencial cambia medias, intervalos y efectos aditivos.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la variable real es el logaritmo de una magnitud Gamma y la asimetría en escala logarítmica tiene interpretación.

Compárala con: Normal y Gumbel. Confirma la orientación y la convención de forma; «log-gamma» se usa para parametrizaciones distintas en varias disciplinas.

Referencias

Distribución Loggamma: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼LogGamma(c,μ,σ)X\sim\mathrm{LogGamma}\left(c,\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

c∈R+,μ∈R,σ∈R+c\in\mathbb{R}^{+},\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=γ(c,ex)Γ(c)=P(c,ez(x))F_{X}\left(x\right)=\frac{\gamma\left(c,e^{x}\right)}{\Gamma\left(c\right)}=\text{P}\left(c,e^{z(x)}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=exp⁡(cz(x)−ez(x))σΓ(c)f_{X}\left(x\right)=\frac{\exp\left(cz(x)-e^{z(x)}\right)}{\sigma\Gamma\left(c\right)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ+σln⁡(P−1(u,c))F^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu+\sigma\ln\left(\text{P}^{-1}\left(u,c\right)\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=μ+σψ0\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\mu+\sigma\psi_{0}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=α2ψ1(c)\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\alpha^{2}\psi_{1}\left(c\right)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=ψ2(c)ψ1(c)\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{\psi_{2}\left(c\right)}{\psi_{1}\left(c\right)}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=ψ3(c)ψ1(c)\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\frac{\psi_{3}\left(c\right)}{\psi_{1}\left(c\right)}

Mediana paramétrica

Median(X)=μ+σln⁡(P−1(1/2,c))\mathrm{Median}(X)=\mu+\sigma\ln\left(\text{P}^{-1}\left(1/2,c\right)\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=μ+σln⁡(c)\mathrm{Mode}(X)=\mu+\sigma\ln(c)

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−μ)/σz\left(x\right)=\left(x-\mu\right)/\sigma
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}
ψ0(x):Digamma function\psi_{0}\left(x\right):\text{Digamma function}
ψn(x):Polygamma function of order n∈N\psi_{n}\left(x\right):\text{Polygamma function of order }n\in\mathbb{N}