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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN LAPLACE

Definición de distribución

X∼Laplace(μ,b)X\sim\mathrm{Laplace}\left(\mu,b\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R+,b∈R+\mu\in\mathbb{R}^{+},b\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=12+12sign(x−μ)(1−exp⁡(−∣x−μ∣b))F_{X}\left(x\right)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} \mathrm{sign}(x-\mu)\left(1-\exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b} \right ) \right )

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=12bexp⁡(−∣x−μ∣b)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ−b×sign(u−12) ln⁡(1−2∣p−12∣)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu-b\times \mathrm{sign}\left(u-\frac{1}{2}\right)\,\ln\left(1-2\left|p-\frac{1}{2}\right|\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=(12)∑k=0r[r!(r−k)!bkμ(r−k){1+(−1)k}]\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\bigg({\frac{1}{2}}\bigg) \sum_{k=0}^r \bigg[{\frac{r!}{(r-k)!}} b^k \mu^{(r-k)} \{1+(-1)^k\}\bigg]

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=μ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\mu

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=2b2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=2b^2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=6\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=6

Mediana paramétrica

Median(X)=μ\mathrm{Median}(X)=\mu

Moda paramétrica

Mode(X)=μ\mathrm{Mode}(X)=\mu

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
b:Scale parameterb:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}