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Distribución Laplace

La idea en una frase

Laplace es una distribución simétrica con un pico agudo en el centro y colas exponenciales. Es una elección natural cuando los errores tienen más valores extremos que una normal y el valor absoluto del error importa.

Soporte e interpretación

Vive en toda la recta. mu es el centro y b una escala basada en la desviación absoluta media; la densidad cambia de pendiente en el centro.

Un lugar dentro de la familia

Es la distribución Generalized Normal con potencia 1. La diferencia de dos exponenciales iid produce una Laplace; su análogo discreto aparece en el catálogo como Discrete Laplace.

Una lectura aplicada

En regresión, la verosimilitud Laplace corresponde a minimizar desviaciones absolutas y conduce a estimaciones más resistentes a outliers que la pérdida cuadrática. Aun así, no elimina la necesidad de revisar datos extremos.

No confundir una cola exponencial con una cola ligera normal: Laplace asigna más probabilidad a desviaciones grandes y puede alterar intervalos.

Dos esperas exponenciales tirando en direcciones opuestas

Restar dos variables Exponenciales independientes con la misma escala produce una Laplace centrada. Cada lado cae exponencialmente, pero ambos se encuentran en un pico agudo. De ahí el nombre doble exponencial.

La densidad conduce a una función de pérdida absoluta: estimar su centro por máxima verosimilitud lleva a la mediana, así como la pérdida cuadrática normal lleva a la media. Esta conexión sostiene regresión cuantílica y métodos robustos. Laplace también proporciona ruido en privacidad diferencial para consultas continuas. La robustez no es ilimitada; sus colas siguen siendo exponenciales y pueden subestimar fenómenos de potencia. Un pico central agudo con asimetría tampoco queda resuelto por una ley simétrica.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los errores son simétricos, muy concentrados en el centro y presentan colas exponenciales, como en modelos basados en desviación absoluta.

Compárala con: Normal, t de Student y Generalized Normal. Un pico agudo no basta: usa gráficos Q–Q para separar pico, colas y posibles mezclas.

Referencias

Distribución Laplace: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Laplace(μ,b)X\sim\mathrm{Laplace}\left(\mu,b\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R+,b∈R+\mu\in\mathbb{R}^{+},b\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=12+12sign(x−μ)(1−exp⁡(−∣x−μ∣b))F_{X}\left(x\right)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} \mathrm{sign}(x-\mu)\left(1-\exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b} \right ) \right )

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=12bexp⁡(−∣x−μ∣b)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2b} \exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ−b×sign(u−12) ln⁡(1−2∣p−12∣)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu-b\times \mathrm{sign}\left(u-\frac{1}{2}\right)\,\ln\left(1-2\left|p-\frac{1}{2}\right|\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=(12)∑k=0r[r!(r−k)!bkμ(r−k){1+(−1)k}]\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\bigg({\frac{1}{2}}\bigg) \sum_{k=0}^r \bigg[{\frac{r!}{(r-k)!}} b^k \mu^{(r-k)} \{1+(-1)^k\}\bigg]

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=μ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\mu

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=2b2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=2b^2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=6\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=6

Mediana paramétrica

Median(X)=μ\mathrm{Median}(X)=\mu

Moda paramétrica

Mode(X)=μ\mathrm{Mode}(X)=\mu

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
b:Scale parameterb:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}