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Distribución Pert

Qué representa

PERT es una Beta ajustada a tres valores de una estimación: mínimo a, valor más probable b y máximo c. Su propósito es traducir juicio experto o escenarios de proyecto en una distribución acotada y suave.

Pista histórica

La distribución se popularizó con la técnica PERT, Program Evaluation and Review Technique, en la planificación de proyectos de la Marina estadounidense durante los años cincuenta. La versión beta-PERT fue una aproximación práctica a tiempos inciertos.

Relaciones que aclaran su uso

Es una parametrización de Beta, no una familia completamente separada. Triangular usa también mínimo, modo y máximo, pero concentra una forma lineal; PERT suaviza esa forma mediante exponentes Beta.

Ejemplos de datos

  • duración de actividades y cronogramas de proyecto
  • estimaciones de coste, esfuerzo o tiempo con límites y un escenario más probable

Advertencia de modelado

No tratar b como la media: es el punto más probable. La media depende de los exponentes y, por tanto, de la convención PERT elegida.

Tres estimaciones no crean evidencia por sí solas

PERT nació en la planificación del proyecto Polaris y convirtió estimaciones optimista, más probable y pesimista en una aproximación Beta para la duración de una actividad. Clark explicó en 1962 el origen de las fórmulas que habían causado confusión entre analistas.

La versión habitual da cuatro veces más peso al modo al construir la media, mientras variantes modernas permiten cambiar ese peso. Los tres puntos son juicios expertos, no mínimo, moda y máximo observados en una muestra. La distribución suaviza el relato del experto, pero no incorpora automáticamente sesgo de planificación, dependencia entre tareas ni el hecho de que el camino crítico cambia. En una red completa, sumar medias PERT no reproduce la distribución del tiempo de terminación.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la incertidumbre se elicita mediante mínimo, valor más probable y máximo, y se desea una curva acotada más suave que Triangular.

Compárala con: Triangular y Beta. Realiza sensibilidad a los tres juicios y al peso de la moda; PERT resume opiniones, no convierte estimaciones débiles en datos.

Referencias

Distribución Pert: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Pert(a,b,c)X\sim\mathrm{Pert}\left(a,b,c\right)

Dominio de distribución

x∈[a,c]x\in\left[a,c\right]

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R,b∈R,c∈R,a<b<ca\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R},c\in\mathbb{R},a < b < c

Función de distribución acumulada

FX(x)=I(z(x),α1,α2)F_{X}\left(x\right)=I(z(x),\alpha_{1},\alpha_{2})

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=(x−a)α1−1(c−x)α2−1Beta(α1,α2)(c−a)α1+α2−1f_{X}\left(x\right)=\frac{(x-a)^{\alpha_{1}-1}(c-x)^{\alpha_{2}-1}} {\text{Beta}(\alpha_{1},\alpha_{2})(c-a)^{\alpha_{1}+\alpha_{2}-1}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=a+(c−a)⋅I−1(u,α1,α2)F^{-1}_{X}\left(u\right)=a+(c-a)\cdot I^{-1}\left(u,\alpha_{1},\alpha_{2}\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫acxkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{a}^{c}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=a+4b+c6\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{a+4b+c}{6}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=(Mean(X)−a)(c−Mean(X))7\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{(\mathrm{Mean}(X)-a)(c-\mathrm{Mean}(X))}{7}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2 (α2−α1)α1+α2+1(α1+α2+2)α1α2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2\,(\alpha_{2}-\alpha_{1})\sqrt{\alpha_{1}+\alpha_{2}+1}}{(\alpha_{1}+\alpha_{2}+2)\sqrt{\alpha_{1}\alpha_{2}}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=6[(α1−α2)2(α1+α2+1)−α1α2(α1+α2+2)]α1α2(α1+α2+2)(α1+α2+3)+3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\frac{6[(\alpha_{1}-\alpha_{2})^2 (\alpha_{1} +\alpha_{2}+1)-\alpha_{1} \alpha_{2} (\alpha_{1}+\alpha_{2}+2)]}{\alpha_{1} \alpha_{2} (\alpha_{1}+\alpha_{2}+2) (\alpha_{1}+\alpha_{2}+3)}+3

Mediana paramétrica

Median(X)=a+(c−a)⋅I−1(12,α1,α2)\mathrm{Median}(X)=a+(c-a)\cdot I^{-1}\left(\frac{1}{2},\alpha_{1},\alpha_{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=b\mathrm{Mode}(X)=b

Información y definiciones adicionales

z(x)=(x−a)/(c−a)z\left(x\right)=\left(x-a\right)/\left(c-a\right)
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
α1=4b+c−5ac−a,α2=5c−a−4bc−a\alpha_{1}=\frac{4b+c-5a} {c-a},\alpha_{2}=\frac{5c-a-4b} {c-a}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
I−1(x,a,b):Inverse of regularized incomplete beta functionI^{-1}\left(x,a,b\right):\text{Inverse of regularized incomplete beta function}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}