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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN GAMMA INVERSA 3P

Definición de distribución

X∼InverseGamma3P(α,Loc,β)X\sim\mathrm{InverseGamma_{3P}}\left(\alpha,\text{Loc},\beta\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,Loc∈R,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−γ(α,β/(x−Loc))Γ(α)=1−P(α,βx−Loc)F_{X}\left(x\right)=1-\frac{\gamma(\alpha,\beta/(x-\text{Loc}))}{\Gamma(\alpha)}=1-\text{P}\left(\alpha,\frac{\beta}{x-\text{Loc}}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=βαΓ(α)(x−Loc)−α−1exp⁡(−βx−Loc)f_{X}\left(x\right)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} (x-\text{Loc})^{-\alpha-1} \exp\left(-\frac{\beta}{x-\text{Loc}}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+βP−1(α,1−u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\frac{\beta}{\text{P}^{-1}\left(\alpha,1-u\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=Γ(α−k)Γ(α)=1(α−1)⋯(α−k)if α>k\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{\Gamma(\alpha-k)}{\Gamma(\alpha)}=\frac{1}{(\alpha-1) \cdots (\alpha-k)}\quad \text{if } \alpha>k

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+βμ1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\beta\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=β2(μ2′−μ1′2)\mathrm{Variance}(X)=\beta^{2}(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+βP−1(α,12)\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\frac{\beta}{\text{P}^{-1}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+βα+1\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\frac{\beta}{\alpha+1}

Información y definiciones adicionales

X~∼InverseGamma3P(α,0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{InverseGamma_{3P}}\left(\alpha,0,1\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}