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Distribución Gamma Inversa 3P

Vista rápida

Gamma Inversa 3P añade localización a la Gamma inversa. Modela una variable que comienza en un umbral y que, después, puede presentar una cola derecha mucho más larga que una exponencial.

Si vienes de otra distribución

Con loc=0 se recupera la Gamma inversa de dos parámetros. Sigue relacionada con Beta prime y F, pero la localización ya no puede interpretarse como parte de un cociente desde cero.

Historia y terminología

La versión 3P es habitual en software de vida y confiabilidad; su núcleo es la transformación recíproca de Gamma. No debe confundirse con una Gamma inversa no central.

Una situación conocida

Puede representar una duración que no empieza a estar expuesta hasta un tiempo mínimo y que luego tiene cola pesada. En inferencia bayesiana, añadir loc suele alejarse de la conjugación estándar y debe explicitarse.

Para ajustar con criterio

La correlación entre loc y la escala puede ser severa: comparar con la versión de dos parámetros y usar intervalos de perfil.

Una cola pesada levantada sobre un piso

La versión 3P coloca toda la Gamma Inversa por encima de loc. Es apropiada cuando una magnitud posee un piso conocido y el exceso mantiene una cola de potencia. El desplazamiento cambia el comienzo del soporte, pero no las condiciones de existencia de los momentos del exceso.

Estimar simultáneamente piso, forma y escala es delicado. Mover loc cerca del menor dato altera de manera extrema los recíprocos implícitos y puede crear máximos de verosimilitud inestables. Un límite impuesto por calibración física ofrece más información que uno inferido solo de la muestra. Si no existe tal conocimiento, conviene comparar con Gamma Inversa sin desplazamiento y con otras familias de cola pesada antes de extrapolar.

Guía de elección

Buena candidata cuando: una estructura Inverse Gamma opera por encima de un nivel basal físicamente defendible.

Compárala con: Inverse Gamma sin desplazamiento. La combinación de cola pesada y loc libre puede ser difícil de identificar; usa perfiles y sensibilidad a extremos.

Referencias

Distribución Gamma Inversa 3P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼InverseGamma3P(α,Loc,β)X\sim\mathrm{InverseGamma_{3P}}\left(\alpha,\text{Loc},\beta\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,Loc∈R,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−γ(α,β/(x−Loc))Γ(α)=1−P(α,βx−Loc)F_{X}\left(x\right)=1-\frac{\gamma(\alpha,\beta/(x-\text{Loc}))}{\Gamma(\alpha)}=1-\text{P}\left(\alpha,\frac{\beta}{x-\text{Loc}}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=βαΓ(α)(x−Loc)−α−1exp⁡(−βx−Loc)f_{X}\left(x\right)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} (x-\text{Loc})^{-\alpha-1} \exp\left(-\frac{\beta}{x-\text{Loc}}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+βP−1(α,1−u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\frac{\beta}{\text{P}^{-1}\left(\alpha,1-u\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=Γ(α−k)Γ(α)=1(α−1)⋯(α−k)if α>k\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{\Gamma(\alpha-k)}{\Gamma(\alpha)}=\frac{1}{(\alpha-1) \cdots (\alpha-k)}\quad \text{if } \alpha>k

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+βμ1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\beta\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=β2(μ2′−μ1′2)\mathrm{Variance}(X)=\beta^{2}(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+βP−1(α,12)\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\frac{\beta}{\text{P}^{-1}\left(\alpha,\frac{1}{2}\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+βα+1\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\frac{\beta}{\alpha+1}

Información y definiciones adicionales

X~∼InverseGamma3P(α,0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{InverseGamma_{3P}}\left(\alpha,0,1\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}