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Distribución Gaussiana Inversa 3P

Retrato

Gaussiana Inversa 3P añade un umbral de localización al tiempo de primera llegada. Después de loc, mu y lambda conservan la interpretación de deriva y dispersión de la familia Inverse Gaussian.

Huellas históricas

El sufijo 3P es una extensión de parametrización frecuente en fiabilidad. La historia generativa sigue siendo la de Schrödinger y Wald.

Dos conexiones útiles

  • Con loc=0 se recupera la Gaussiana Inversa. También compite con Gamma, Weibull y Birnbaum–Saunders; la ventaja interpretativa aparece cuando existe una historia de primera pasada.
  • La suma de una constante y un tiempo de primera llegada ya no es una primera llegada pura desde el origen, aunque conserve su forma después del umbral.

Caso de uso

Puede separar el tiempo fijo de montaje o transporte del tiempo estocástico hasta un umbral. En un proceso secuencial, esa lectura es más defendible que usar loc solo para corregir el sesgo.

Consejo de diagnóstico

Verificar si los datos contienen una demora real o censura izquierda: ambos pueden producir un mínimo aparente.

Una demora antes de que empiece el primer paso

El tercer parámetro desplaza todo el reloj. Puede representar preparación, latencia instrumental o un tiempo mínimo anterior al proceso aleatorio. Después de restar loc, la parte restante conserva la forma de la Gaussiana Inversa.

Ese desplazamiento no equivale a cambiar la barrera o la deriva del movimiento browniano. Tampoco es una no centralidad. Es una constante sumada después de generar el tiempo de primera llegada. La distinción importa al comunicar resultados y al extrapolar cerca del límite inferior. Como el menor dato empuja con fuerza la estimación de loc, muestras pequeñas o tiempos redondeados pueden volver inestable el ajuste de tres parámetros. Compararlo con la versión sin desplazamiento ayuda a detectar complejidad innecesaria.

Guía de elección

Buena candidata cuando: el proceso de primer paso comienza después de un retardo o desplazamiento físico.

Compárala con: Inverse Gaussian sin desplazamiento y modelos de tiempo de reacción con componentes separados. No atribuyas automáticamente al umbral toda latencia mínima observada.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.invgauss — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Schrödinger, E. (1915). Zur Theorie der Fall- und Steigversuche an Teilchen mit Brownscher Bewegung. Physikalische Zeitschrift, 16, 289–295.
  • Wald, A. (1947). Sequential Analysis. Wiley.

Distribución Gaussiana Inversa 3P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼InverseGaussian3P(μ,λ,Loc)X\sim\mathrm{InverseGaussian_{3P}}\left(\mu,\lambda,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R+,λ∈R+,Loc∈R\mu\in\mathbb{R}^{+},\lambda\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(λx−Loc(x−Locμ−1))+exp⁡(2λμ)Φ(−λx−Loc(x−Locμ+1))F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\sqrt{\frac{\lambda}{x-\text{Loc}}}\left(\frac{x-\text{Loc}}{\mu}-1\right)\right)+\exp\left(\frac{2 \lambda}{\mu}\right) \Phi\left(-\sqrt{\frac{\lambda}{x-\text{Loc}}}\left(\frac{x-\text{Loc}}{\mu}+1\right)\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=λ2π(x−Loc)3exp⁡[−λ(x−μ−Loc)22μ2(x−Loc)]f_{X}\left(x\right)=\sqrt\frac{\lambda}{2 \pi (x-\text{Loc})^3} \exp\left[-\frac{\lambda (x-\mu-\text{Loc})^2}{2 \mu^2 (x-\text{Loc})}\right]

Función de punto percentil

SampleX={Loc+x0ifu2⩽μμ+x0Loc+μ2x0ifu2⩾μμ+x0\text{Sample}_{X}=\left\{\begin{array}{cl} \text{Loc}+x_{0} \quad \text{if} \quad u_{2}\leqslant\frac{\mu}{\mu+x_{0}}\\ \text{Loc}+\frac{\mu^{2}}{x_{0}} \quad \text{if} \quad u_{2}\geqslant \frac{\mu}{\mu+x_{0}} \end{array} \right.

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫Loc∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\text{Loc}}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=Loc+μ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\text{Loc}+\mu

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=μ3λ\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{\mu^3}{\lambda}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=3(μλ)1/2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=3\left(\frac{\mu}{\lambda}\right)^{1/2}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+15μλ\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{15 \mu}{\lambda}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(12)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(\frac{1}{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+μ[(1+9μ24λ2)12−3μ2λ]\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\mu\left[\left(1+\frac{9 \mu^2}{4 \lambda^2}\right)^\frac{1}{2}-\frac{3 \mu}{2 \lambda}\right]

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. Nonetheless, it is possible to generate a random sample from the distribution.
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
x0=μ+μ2[Φ−1(u1)]22λ−μ2λ4μλ[Φ−1(u1)]2+μ2([Φ−1(u1)]2)2x_{0}=\mu+\frac{\mu^2 [\Phi^{-1}\left(u_{1}\right)]^{2}}{2\lambda}-\frac{\mu}{2\lambda}\sqrt{4\mu \lambda [\Phi^{-1}\left(u_{1}\right)]^{2}+\mu^2 ([\Phi^{-1}\left(u_{1}\right)]^{2})^2}
u1:Uniform[0,1] random varibleu_{1}:\text{Uniform[0,1] random varible}
u2:Uniform[0,1] random varibleu_{2}:\text{Uniform[0,1] random varible}