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Distribución Dagum

Qué describe

Dagum es una distribución positiva y flexible para datos con sesgo a la derecha. Sus tres parámetros separan escala, concentración cerca del origen y comportamiento de la cola, una combinación especialmente útil para tamaños e ingresos.

Su soporte es positivo. Para ciertos valores de forma la media, varianza o momentos superiores dejan de estar definidos; esa posibilidad es parte del modelo, no un error numérico.

Historia y nombres

Camilo Dagum propuso la familia en la década de 1970 para modelar distribuciones personales de ingreso. En la literatura económica también se la identifica como Burr tipo III.

Relación con otras distribuciones

Es un caso de la familia Beta generalizada de segundo tipo y está estrechamente relacionada con Burr, Beta prime, loglogística y Singh–Maddala. La transformación de una Beta prime ayuda a explicar su forma de cola.

Dónde aparece

  • distribuciones de ingreso, riqueza y tamaño de hogares
  • fiabilidad, tamaño de partículas y variables positivas muy asimétricas

Precauciones al ajustar

La cola puede dominar la media; cuando el objetivo es comparar grupos, reportar mediana y cuantiles además de promedios evita una lectura excesivamente sensible a extremos.

Una curva construida para mirar toda la escala de ingresos

Camilo Dagum propuso en 1977 una distribución capaz de describir simultáneamente la concentración de ingresos bajos y una cola alta pesada. En economía también se denomina Burr tipo III, aunque la convención exacta debe verificarse. Su inversa se relaciona estrechamente con Burr XII o Singh Maddala.

La familia admite expresiones manejables para cuantiles y curvas de Lorenz, por eso resulta útil al estudiar desigualdad además de densidad. Un buen ajuste de ingresos no vuelve estable cualquier medida social: la parte baja puede estar afectada por ceros, subregistro o definiciones de hogar, mientras unos pocos valores dominan la cola. Comparar participaciones por cuantiles y el índice de cola ofrece una evaluación más sustantiva que superponer histogramas.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se modelan ingresos, tamaños o duraciones positivas con mucha masa baja y una cola superior pesada.

Compárala con: Burr XII, Loglogistic y Beta Prime. Evalúa curvas de Lorenz o cuantiles además de la densidad; son más sensibles a las diferencias económicas que un histograma central.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.mielke — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Dagum, C. (1977). A new model of personal income distribution: Specification and estimation. Swiss Journal of Economics and Statistics, 113, 185–211.
  • Kleiber, C. & Kotz, S. (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences. Wiley.

Distribución Dagum: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Dagum(a,b,p)X\sim\mathrm{Dagum}\left(a,b,p\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R+,b∈R+,p∈R+a\in\mathbb{R}^{+},b\in\mathbb{R}^{+},p\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=(1+(xb)−a)−pF_{X}\left(x\right)={\left(1+{\left(\frac{x}{b}\right)}^{-a}\right)}^{-p}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=apx((xb)ap((xb)a+1)p+1)f_{X}\left(x\right)=\frac{a p}{x}\left(\frac{(\tfrac{x}{b})^{a p}}{\left((\tfrac{x}{b})^a+1\right)^{p+1}}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=b(u−1/p−1)−1/aF^{-1}_{X}\left(u\right)=b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=pbk⋅Beta(ap+ka,a−ka)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=pb^{k}\cdot \text{Beta}\left(\frac{ap+k}{a},\frac{a-k}{a}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=b(−1+21p)−1a\mathrm{Median}(X)=b{\left(-1+2^{\tfrac{1}{p}}\right)}^{-\tfrac{1}{a}}

Moda paramétrica

Mode(X)=b(ap−1a+1)1a\mathrm{Mode}(X)=b{\left(\frac{ap-1}{a+1}\right)}^{\tfrac{1}{a}}

Información y definiciones adicionales

b:Scale parameterb:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}