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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN DAGUM

Definición de distribución

X∼Dagum(a,b,p)X\sim\mathrm{Dagum}\left(a,b,p\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R+,b∈R+,p∈R+a\in\mathbb{R}^{+},b\in\mathbb{R}^{+},p\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=(1+(xb)−a)−pF_{X}\left(x\right)={\left(1+{\left(\frac{x}{b}\right)}^{-a}\right)}^{-p}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=apx((xb)ap((xb)a+1)p+1)f_{X}\left(x\right)=\frac{a p}{x}\left(\frac{(\tfrac{x}{b})^{a p}}{\left((\tfrac{x}{b})^a+1\right)^{p+1}}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=b(u−1/p−1)−1/aF^{-1}_{X}\left(u\right)=b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=pbk⋅Beta(ap+ka,a−ka)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=pb^{k}\cdot \text{Beta}\left(\frac{ap+k}{a},\frac{a-k}{a}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=b(−1+21p)−1a\mathrm{Median}(X)=b{\left(-1+2^{\tfrac{1}{p}}\right)}^{-\tfrac{1}{a}}

Moda paramétrica

Mode(X)=b(ap−1a+1)1a\mathrm{Mode}(X)=b{\left(\frac{ap-1}{a+1}\right)}^{\tfrac{1}{a}}

Información y definiciones adicionales

b:Scale parameterb:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}