PLAYGROUND

Distribución Maxwell

De un fenómeno a un modelo

James Clerk Maxwell obtuvo esta ley en 1860 al estudiar velocidades moleculares en un gas ideal. El modelo fue uno de los puentes entre mecánica estadística y probabilidad.

Lo que conviene mirar

El soporte comienza en loc y continúa hacia el infinito positivo en la parametrización de Phitter. alpha controla la escala de las componentes; la densidad tiene un pico interior y cae rápidamente en la cola.

Relaciones útiles

Es un caso de Chi y de Generalized Gamma. Rayleigh es el análogo bidimensional; la distribución de velocidad Maxwell–Boltzmann es el nombre físico más habitual.

Nombres que también encontrarás

También se conoce como Maxwell–Boltzmann speed distribution o distribución de Maxwell.

Cuándo tiene sentido

En física, el histograma de velocidades de un gas en equilibrio se compara con Maxwell–Boltzmann. En ingeniería, puede representar la norma de tres errores gaussianos independientes cuando la isotropía es plausible.

Qué no debe suponerse

La interpretación física requiere isotropía y equilibrio; un ajuste Maxwell a velocidades agrupadas no prueba esas condiciones.

La rapidez aparece al olvidar tres direcciones

Maxwell partió de tres componentes de velocidad normales e independientes con la misma escala. La rapidez es la longitud del vector y no conserva el signo de ninguna dirección. Así nace la ley de Maxwell, también llamada Maxwell Boltzmann para rapidez molecular.

Es el caso de tres dimensiones de la distribución Chi. Una dimensión produce Half Normal y dos producen Rayleigh. El cuadrado de la rapidez, ajustado por la escala, sigue Chi Cuadrado con tres grados de libertad y se relaciona con la energía cinética. En gases reales, equilibrio térmico e isotropía son supuestos físicos. Para magnitudes genéricas, el ajuste de la curva no demuestra que existan tres componentes gaussianas equivalentes.

Guía de elección

Buena candidata cuando: después de restar loc, la variable es la magnitud de tres componentes gaussianos independientes, centrados y con la misma varianza.

Compárala con: Rayleigh para dos componentes y una Chi para otra dimensión. Si hay deriva o varianzas distintas, la construcción Maxwell deja de ser apropiada.

Referencias

Distribución Maxwell: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Maxwell(α,Loc)X\sim\mathrm{Maxwell}\left(\alpha,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,Loc∈R\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=erf⁡(x−Loc2α)−2π(x−Loc)e−(x−Loc)2/(2α2)αF_{X}\left(x\right)=\operatorname{erf}\left(\frac{x-\text{Loc}}{\sqrt{2} \alpha}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{(x-\text{Loc}) e^{-(x-\text{Loc})^2/\left(2\alpha^2\right)}}{\alpha}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=2π(x−Loc)2e−(x−Loc)2/(2α2)α3f_{X}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{(x-\text{Loc})^2 e^{-(x-\text{Loc})^2/\left(2\alpha^2\right)}}{\alpha^3}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+α2P−1(1.5,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\alpha\sqrt{2\text{P}^{-1}\left(1.5,u\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=Loc+2α2π\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\text{Loc}+2\alpha \sqrt{\frac{2}{\pi}}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=α2(3π−8)π\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{\alpha^2(3 \pi-8)}{\pi}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=22(16−5π)(3π−8)3/2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2 \sqrt{2} (16 -5 \pi)}{(3 \pi-8)^{3/2}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=4(−96+40π−3π2)(3π−8)2+3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=4\frac{\left(-96+40\pi-3\pi^2\right)}{(3 \pi-8)^2}+3

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+α2P−1(1.5,12)\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\alpha\sqrt{2\text{P}^{-1}\left(1.5,\frac{1}{2}\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+α2\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\alpha\sqrt{2}

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
α:Scale parameter\alpha:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}