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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN MAXWELL

Definición de distribución

X∼Maxwell(α,Loc)X\sim\mathrm{Maxwell}\left(\alpha,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,Loc∈R\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=erf⁡(x−Loc2α)−2π(x−Loc)e−(x−Loc)2/(2α2)αF_{X}\left(x\right)=\operatorname{erf}\left(\frac{x-\text{Loc}}{\sqrt{2} \alpha}\right) -\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{(x-\text{Loc}) e^{-(x-\text{Loc})^2/\left(2\alpha^2\right)}}{\alpha}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=2π(x−Loc)2e−(x−Loc)2/(2α2)α3f_{X}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{(x-\text{Loc})^2 e^{-(x-\text{Loc})^2/\left(2\alpha^2\right)}}{\alpha^3}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+α2P−1(1.5,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\alpha\sqrt{2\text{P}^{-1}\left(1.5,u\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=Loc+2α2π\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\text{Loc}+2\alpha \sqrt{\frac{2}{\pi}}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=α2(3π−8)π\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{\alpha^2(3 \pi-8)}{\pi}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=22(16−5π)(3π−8)3/2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2 \sqrt{2} (16 -5 \pi)}{(3 \pi-8)^{3/2}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=4(−96+40π−3π2)(3π−8)2+3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=4\frac{\left(-96+40\pi-3\pi^2\right)}{(3 \pi-8)^2}+3

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+α2P−1(1.5,12)\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\alpha\sqrt{2\text{P}^{-1}\left(1.5,\frac{1}{2}\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+α2\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\alpha\sqrt{2}

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
α:Scale parameter\alpha:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}