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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN JOHNSON SB

Definición de distribución

X∼JohnsonSB(ξ,λ,γ,δ)X\sim\mathrm{JohnsonSB}\left(\xi,\lambda,\gamma,\delta\right )

Dominio de distribución

x∈(ξ,ξ+λ)x\in\left(\xi,\xi+\lambda\right)

Dominio y restricciones de parámetros

ξ∈R,λ∈R+,γ∈R,δ∈R+\xi\in\mathbb{R},\lambda\in\mathbb{R}^{+},\gamma\in\mathbb{R},\delta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(γ+δln⁡z(x)1−z(x))F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\gamma+\delta\ln\frac{z(x)}{1-z(x)}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=δλ2πz(1−z(x))exp⁡[−12(γ+δln⁡z(x)1−z(x))2]f_{X}\left(x\right)=\frac{\delta}{\lambda\sqrt{2\pi}z(1-z(x))}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\gamma+\delta\ln\frac{z(x)}{1-z(x)}\right)^2\right]

Función de punto percentil

FX−1(u)=λexp⁡(Φ−1(u)−γδ)1+exp⁡(Φ−1(u)−γδ)+ξF^{-1}_{X}\left(u\right)=\frac{\lambda\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(u)-\gamma}{\delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(u)-\gamma}{\delta}\right)}+\xi

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫ξξ+λxkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\xi}^{\xi+\lambda }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=λexp⁡(Φ−1(1/2)−γδ)1+exp⁡(Φ−1(1/2)−γδ)+ξ\mathrm{Median}(X)=\frac{\lambda\exp\left(\frac{\Phi^{-1}\left(1/2\right)-\gamma}{\delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\Phi^{-1}\left(1/2\right)-\gamma}{\delta}\right)}+\xi

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

ξ:Location parameter\xi:\text{Location parameter}
λ:Scale parameter\lambda:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−ξ)/λz\left(x\right)=\left(x-\xi\right)/\lambda
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}