PLAYGROUND

Distribución Johnson SB

De un fenómeno a un modelo

N. L. Johnson introdujo en 1949 sus sistemas de curvas como transformaciones de una normal. SB significa bounded, en contraste con SU, que no tiene límites finitos.

Lo que conviene mirar

El soporte se extiende desde xi hasta xi+lambda, con lambda > 0. gamma y delta controlan la transformación normal; los límites son parte explícita del modelo.

Relaciones útiles

La transformación logística conecta SB con la normal y con modelos Beta en intervalos finitos. Johnson SU usa una transformación hiperbólica y permite soporte en toda la recta; ambas familias buscan normalizar datos no normales.

Nombres que también encontrarás

También se conoce como Johnson bounded system o familia Johnson SB.

Cuándo tiene sentido

SB puede ser preferible a Beta cuando la transformación hacia normalidad permite una forma más flexible. Los límites xi y xi+lambda deben ser conocidos o estimables con suficiente información.

Qué no debe suponerse

Cuando los extremos observados son censura, no tratarlos como límites físicos sin modelar la censura; SB puede absorber el artefacto y dar una falsa sensación de precisión.

Enderezar una variable acotada hasta volverla Normal

Johnson SB aplica a la posición dentro de un intervalo una transformación de log odds y exige que el resultado sea Normal. Las letras SB recuerdan bounded system: el soporte queda fijado entre xi y xi+lambda.

Johnson diseñó en 1949 un sistema de transformaciones capaz de cubrir regiones de sesgo y curtosis que las familias clásicas dejaban vacías. SB resulta valiosa cuando los límites son reales y la forma interior es compleja. La transformación también ofrece un diagnóstico: los datos transformados deberían parecer normales. Si los límites se estiman, pueden acercarse demasiado a los extremos observados y volver frágiles los log odds. Con límites conocidos, la interpretación mejora considerablemente.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los datos están acotados, son sesgados y una transformación logística puede acercarlos a la Normal.

Compárala con: Beta y Kumaraswamy. Johnson SB gana flexibilidad, pero sus límites estimados pueden dominar la transformación; valida su estabilidad fuera de muestra.

Referencias

Distribución Johnson SB: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼JohnsonSB(ξ,λ,γ,δ)X\sim\mathrm{JohnsonSB}\left(\xi,\lambda,\gamma,\delta\right )

Dominio de distribución

x∈(ξ,ξ+λ)x\in\left(\xi,\xi+\lambda\right)

Dominio y restricciones de parámetros

ξ∈R,λ∈R+,γ∈R,δ∈R+\xi\in\mathbb{R},\lambda\in\mathbb{R}^{+},\gamma\in\mathbb{R},\delta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(γ+δln⁡z(x)1−z(x))F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\gamma+\delta\ln\frac{z(x)}{1-z(x)}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=δλ2πz(1−z(x))exp⁡[−12(γ+δln⁡z(x)1−z(x))2]f_{X}\left(x\right)=\frac{\delta}{\lambda\sqrt{2\pi}z(1-z(x))}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\gamma+\delta\ln\frac{z(x)}{1-z(x)}\right)^2\right]

Función de punto percentil

FX−1(u)=λexp⁡(Φ−1(u)−γδ)1+exp⁡(Φ−1(u)−γδ)+ξF^{-1}_{X}\left(u\right)=\frac{\lambda\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(u)-\gamma}{\delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\Phi^{-1}(u)-\gamma}{\delta}\right)}+\xi

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫ξξ+λxkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\xi}^{\xi+\lambda }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=λexp⁡(Φ−1(1/2)−γδ)1+exp⁡(Φ−1(1/2)−γδ)+ξ\mathrm{Median}(X)=\frac{\lambda\exp\left(\frac{\Phi^{-1}\left(1/2\right)-\gamma}{\delta}\right)}{1+\exp\left(\frac{\Phi^{-1}\left(1/2\right)-\gamma}{\delta}\right)}+\xi

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

ξ:Location parameter\xi:\text{Location parameter}
λ:Scale parameter\lambda:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−ξ)/λz\left(x\right)=\left(x-\xi\right)/\lambda
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}