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Distribución Loglogistica 3P

Por qué existe

Loglogistica 3P desplaza la loglogística para representar tiempos o tamaños que comienzan después de una localización. Mantiene el núcleo logístico en logaritmos y la cola de potencia.

Nombre alternativo

También se llama three-parameter log-logistic o Fisk desplazada.

Construcciones y límites

Con loc=0 vuelve a loglogística. También se vincula a Burr XII y GB2; frente a Weibull, ofrece una tasa de riesgo que puede subir y bajar.

Aplicaciones

Puede representar una vida que no puede comenzar antes de una demora técnica. En supervivencia, distinguir ese umbral de la entrada tardía al estudio es esencial.

Un loc libre puede confundir censura izquierda con un tiempo físico mínimo; documentar cómo se observaron los primeros valores.

El reloj logístico recibe una hora de inicio

Loglogística 3P suma un umbral a un tiempo Loglogístico. Después de restar loc, el logaritmo del exceso conserva una forma Logística. Esto permite modelar una latencia mínima junto con una tasa de riesgo que primero aumenta y luego disminuye.

El logaritmo solo tiene sentido para excesos positivos, así que observaciones iguales o muy cercanas al umbral dominan el ajuste. Redondeo y resolución instrumental pueden parecer evidencia de una localización real. Además, desplazar la variable no elimina su cola de potencia ni crea momentos que la forma no permite. Al informar medias o varianzas conviene revisar primero las condiciones de existencia y la incertidumbre conjunta del umbral y la forma.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la duración Loglogistic solo comienza después de un umbral físico o latencia mínima.

Compárala con: Loglogistic sin desplazamiento y Weibull 3P. Valida el umbral con conocimiento del proceso y no solo con la observación mínima.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.fisk — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Fisk, P. R. (1961). The graduation of income distributions. Econometrica, 29(2), 171–185.
  • Lawless, J. F. (2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data, 2nd ed. Wiley.

Distribución Loglogistica 3P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼LogLogistic3P(Loc,α,β)X\sim\mathrm{LogLogistic_{3P}}\left(\text{Loc},\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in [\text{Loc},\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

Loc∈R,α∈R+,β∈R+\text{Loc}\in\mathbb{R},\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=11+((x−Loc)/α)−βF_{X}\left(x\right)=\frac{1}{1+((x-\text{Loc})/\alpha)^{-\beta}}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=(β/α)((x−Loc)/α)β−1(1+((x−Loc)/α)β)2f_{X}\left(x\right)=\frac{ (\beta/\alpha)((x-\text{Loc})/\alpha)^{\beta-1} }{ \left (1+((x-\text{Loc})/\alpha)^{\beta}\right)^2 }

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+α(u1−u)1/βF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\alpha\left(\frac{u}{1-u}\right)^{1/\beta}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=αkBeta(1−k/β,1+k/β)=αk kπ/βsin⁡(kπ/β)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\alpha^k \text{Beta}(1-k/\beta,1+k/\beta)=\alpha^k\,\frac{k\pi/\beta}{\sin(k\pi/\beta)}

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+α\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\alpha

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+α(β−1β+1)1/β\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\alpha\left(\frac{\beta-1}{\beta+1}\right)^{1/\beta}

Información y definiciones adicionales

X~∼LogLogistic(α,β)\tilde{X}\sim\mathrm{LogLogistic}\left(\alpha,\beta\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
α:Scale parameter\alpha:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}