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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN BURR 4P

Definición de distribución

X∼Burr4P(A,B,C,Loc)X\sim \mathrm{Burr_{4P}}\left( A,B,C,\text{Loc} \right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in [\text{Loc},\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

A∈R+,B∈R,C∈R+,Loc∈RA\in \mathbb{R}^{+}, B\in \mathbb{R}, C\in \mathbb{R}^{+}, \text{Loc}\in \mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−[1+(x−LocA)B]−CF_{X}\left( x \right)=1-\left[ 1+\left( \frac{x-\text{Loc}}{A} \right)^{B} \right]^{-C}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=BCA(x−LocA)B−1[1+(x−LocA)B]−C−1f_{X}\left( x \right)=\frac{BC}{A}\left( \frac{x-\text{Loc}}{A} \right)^{B-1}\left[ 1+\left( \frac{x-\text{Loc}}{A} \right)^{B} \right]^{-C-1}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+A[(1−u)−1c−1]1BF^{-1}_{X}\left( u \right)=\text{Loc}+A\left[ (1-u)^{-\frac{1}{c}}-1 \right]^{\frac{1}{B}}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~=AkC×Beta(BC−kB,B+KB)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}=A^{k}C\times \text{Beta}\left( \frac{BC-k}{B},\frac{B+K}{B} \right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X) = \frac{\tilde{\mu}'_{3} - 3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1} + 2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X) = \frac{\tilde{\mu}'_{4} - 4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3} + 6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2} - 3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+A[(12)−1c−1]1B\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+A\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{c}}-1 \right]^{\frac{1}{B}}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+A(B−1BC+1)1B\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+A\left( \frac{B-1}{BC+1} \right)^{\frac{1}{B}}

Información y definiciones adicionales

X~∼Burr(A,B,C)\tilde{X}\sim \mathrm{Burr}\left( A,B,C \right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left( x,y \right):\text{Beta function}