PLAYGROUND

Distribución Burr 4P

La idea en una frase

Burr 4P extiende la familia Burr con un parámetro de localización. La forma de cola y la escala siguen siendo las de Burr, pero el umbral inferior puede separarse del cero de la unidad observada.

Soporte e interpretación

El soporte comienza en loc y se extiende a infinito. A, B y C controlan escala y forma; la localización cambia el origen, no la naturaleza pesada o ligera de la cola.

Un lugar dentro de la familia

Mantiene las relaciones de Burr XII con GB2, Beta prime, Dagum y loglogística. Añadir loc puede ser útil para tiempos con periodo de garantía o para tamaños con un mínimo físico, pero rompe la interpretación simple de un cociente desde cero.

Una lectura aplicada

La versión de cuatro parámetros puede ajustar una cola pesada después de un retardo o umbral. En ingeniería, separar el tiempo de entrada en servicio del tiempo de exposición al fallo es una interpretación posible; debe comprobarse con el mecanismo de medición.

La estimación de loc suele estar correlacionada con A; usar el mejor valor de verosimilitud sin un perfil de sensibilidad puede ocultar esa debilidad.

Mover el piso de una cola Burr

Burr 4P añade una localización a la forma tipo XII. La variable puede interpretarse como un umbral loc más un exceso Burr positivo. Esto sirve cuando reclamaciones, tamaños o tiempos solo comienzan después de un deducible o límite físico.

El parámetro nuevo no cambia el índice de la cola del exceso, pero sí modifica qué observaciones se consideran cercanas al origen. Esa interacción puede alterar mucho las dos formas estimadas. Un deducible contractual conocido puede fijarse con confianza; un umbral aprendido del menor dato es mucho más incierto. Si los datos ya fueron truncados o censurados por una regla de reporte, desplazar la densidad no sustituye la verosimilitud correspondiente al mecanismo de observación.

Guía de elección

Buena candidata cuando: Burr XII describe bien cuerpo y cola, pero existe además un tiempo o tamaño mínimo físicamente justificable.

Compárala con: Burr sin desplazamiento y Loglogistic 3P. Examina la estabilidad de loc al retirar los valores más pequeños; una frontera que se mueve mucho suele estar débilmente identificada.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.burr12 — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Burr, I. W. (1942). Cumulative frequency functions. The Annals of Mathematical Statistics, 13(2), 215–232.
  • Kleiber, C. & Kotz, S. (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences. Wiley.

Distribución Burr 4P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Burr4P(A,B,C,Loc)X\sim \mathrm{Burr_{4P}}\left( A,B,C,\text{Loc} \right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in [\text{Loc},\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

A∈R+,B∈R,C∈R+,Loc∈RA\in \mathbb{R}^{+}, B\in \mathbb{R}, C\in \mathbb{R}^{+}, \text{Loc}\in \mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−[1+(x−LocA)B]−CF_{X}\left( x \right)=1-\left[ 1+\left( \frac{x-\text{Loc}}{A} \right)^{B} \right]^{-C}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=BCA(x−LocA)B−1[1+(x−LocA)B]−C−1f_{X}\left( x \right)=\frac{BC}{A}\left( \frac{x-\text{Loc}}{A} \right)^{B-1}\left[ 1+\left( \frac{x-\text{Loc}}{A} \right)^{B} \right]^{-C-1}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+A[(1−u)−1c−1]1BF^{-1}_{X}\left( u \right)=\text{Loc}+A\left[ (1-u)^{-\frac{1}{c}}-1 \right]^{\frac{1}{B}}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~=AkC×Beta(BC−kB,B+KB)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}=A^{k}C\times \text{Beta}\left( \frac{BC-k}{B},\frac{B+K}{B} \right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X) = \frac{\tilde{\mu}'_{3} - 3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1} + 2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X) = \frac{\tilde{\mu}'_{4} - 4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3} + 6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2} - 3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+A[(12)−1c−1]1B\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+A\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{c}}-1 \right]^{\frac{1}{B}}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+A(B−1BC+1)1B\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+A\left( \frac{B-1}{BC+1} \right)^{\frac{1}{B}}

Información y definiciones adicionales

X~∼Burr(A,B,C)\tilde{X}\sim \mathrm{Burr}\left( A,B,C \right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left( x,y \right):\text{Beta function}