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Distribución Beta Prime

Por qué existe

La Beta prime, o Beta de tipo II, describe razones positivas sin el denominador normalizador de la Beta. Es especialmente natural cuando una variable es un cociente de dos cantidades Gamma independientes.

Nombre alternativo

Otros nombres son Beta type II, Pearson type VI y, en contextos concretos, distribución beta segunda. No es lo mismo que la distribución F, aunque la F es un caso escalado de una razón de chi-cuadrados.

Construcciones y límites

Si Y y Z son Gammas independientes con una escala común, Y/Z tiene una Beta prime. Al convertir la razón en una proporción se obtiene una Beta, conexión útil para simular y para entender sus colas.

Aplicaciones

Puede ser adecuada para una medida positiva de desequilibrio o para un cociente de dos magnitudes aleatorias. En datos de ingresos, su cola debe validarse por separado de la masa central: un ajuste visual en el centro no garantiza una cola fiable.

Antes de comparar medias o ajustar modelos de riesgo, comprobar si el orden del momento requerido está definido: la cola puede hacer que la media o la varianza no existan.

La Beta sale del intervalo y se convierte en odds

Si una proporción Beta se transforma a odds, el resultado sigue Beta Prime. La construcción inversa devuelve una Beta. También aparece como cociente de dos variables Gamma independientes con escala común y, tras un reescalamiento, incluye a la distribución F.

Estos orígenes explican sus nombres Beta de segundo tipo y Beta invertida. Su soporte positivo no tiene límite superior y la cola puede ser pesada. En inferencia bayesiana sirve para odds y ciertas escalas, mientras en economía describe razones y tamaños. La media y la varianza requieren condiciones sobre el segundo parámetro; informar ambos sin comprobarlas produce resúmenes inexistentes aunque el ajuste numérico haya convergido.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la variable positiva representa odds, un cociente de cantidades Gamma o una magnitud con cola algebraica.

Compárala con: F, Lognormal y Burr XII. Comprueba los cuantiles altos y la existencia de momentos: un buen ajuste central puede ocultar una media o varianza teórica inexistente.

Referencias

Distribución Beta Prime: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼BetaPrime(α,β)X\sim\mathrm{BetaPrime}\left(\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=I(x1+x,α,β)F_{X}\left(x\right)=I\left(\frac{x}{1+x},\alpha,\beta\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=xα−1(1+x)−α−βBeta(α,β)f_{X}\left(x\right)=\frac{x^{\alpha-1} (1+x)^{-\alpha -\beta}}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=I−1(u,α,β)1−I−1(u,α,β)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\frac{I^{-1}\left(u,\alpha,\beta\right)}{1-I^{-1}\left(u,\alpha,\beta\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=Γ(k+α)Γ(β−k)Γ(α)Γ(β)if β>k\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\frac{\Gamma\left(k+\alpha\right)\Gamma\left(\beta-k\right)}{\Gamma\left(\alpha\right)\Gamma\left(\beta\right)} \quad \text{if }\beta>k

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=αβ−1if β>1\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{\alpha}{\beta-1} \quad \text{if }\beta>1

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=α(α+β−1)(β−2)(β−1)2if β>2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} \quad \text{if }\beta>2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2(2α+β−1)β−3β−2α(α+β−1)if β>3\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2(2\alpha+\beta-1)}{\beta-3}\sqrt{\frac{\beta-2}{\alpha(\alpha+\beta-1)}} \quad \text{if }\beta>3

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2if β>4\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}} \quad \text{if }\beta>4

Mediana paramétrica

Median(X)=I−1(12,α,β)1−I−1(12,α,β)\mathrm{Median}(X)=\frac{I^{-1}\left(\frac{1}{2},\alpha,\beta\right)}{1-I^{-1}\left(\frac{1}{2},\alpha,\beta\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=α−1β+1\mathrm{Mode}(X)=\frac{\alpha-1}{\beta+1}

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
I−1(x,a,b):Inverse of regularized incomplete beta functionI^{-1}\left(x,a,b\right):\text{Inverse of regularized incomplete beta function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}