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Distribución Arcoseno

La idea en una frase

La distribución Arcoseno es la Beta con sus dos parámetros iguales a un medio, trasladada al intervalo [a,b]. Su densidad es mayor cerca de ambos extremos y menor en el centro: es una forma deliberadamente en U, no una campana.

Soporte e interpretación

El soporte es acotado. Una transformación mediante el seno cuadrado de una variable Uniforme genera esta ley y ayuda a entender por qué los extremos reciben tanta masa.

Un lugar dentro de la familia

Es un caso particular de la familia Beta. También aparece como ley límite en problemas de ocupación y del último máximo de un paseo aleatorio, aunque esos resultados de proceso estocástico no deben confundirse con asumir que cualquier dato acotado tiene forma arcoseno.

Una lectura aplicada

Es una referencia útil cuando los datos en [a,b] se acumulan cerca de los dos límites. Si los extremos representan censura, redondeo o límites instrumentales, la forma U puede ser un artefacto y no una propiedad del fenómeno.

No conviene estimarla con valores exactamente iguales a los límites sin aclarar si el soporte es cerrado, abierto o resultado de redondeo.

Pasar mucho tiempo cerca de los extremos

La forma en U no es una rareza decorativa. Una de las leyes del arcoseno de Lévy afirma que la fracción de tiempo que un movimiento browniano pasa por encima de cero sigue esta distribución. Contra la intuición, una trayectoria tiene bastante probabilidad de pasar casi todo el intervalo en un solo lado.

En el intervalo unidad, Arcoseno es Beta con ambas formas iguales a un medio. Esto la coloca en el extremo opuesto de la Semicircular, que concentra masa en el centro y corresponde a formas tres medios. Los picos infinitos de densidad en los límites no son átomos: la probabilidad de observar exactamente un extremo sigue siendo cero en el modelo continuo.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la variable está acotada y las observaciones se acumulan de forma genuina cerca de ambos extremos, dejando relativamente vacío el centro.

Compárala con: una Beta libre. Arcsine fija ambos parámetros de forma en 1/2; si la intensidad en los dos bordes no es comparable, Beta suele ser una descripción más honesta.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.arcsine — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
  • Lévy, P. (1939). Sur certains processus stochastiques homogènes. Compositio Mathematica, 7, 283–339.

Distribución Arcoseno: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Arcsine(a,b)X\sim\mathrm{Arcsine}\left(a,b\right)

Dominio de distribución

x∈(a,b)x\in\left(a,b\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R,b∈R,a<ba\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R},a < b

Función de distribución acumulada

FX(x)=2πarcsin⁡(x−ab−a)F_{X}(x)=\frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt\frac{x-a}{b-a}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1π(x−a)(b−x)f_{X}(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{(x-a)(b-x)}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=a+(b−a)×sin⁡2(π2u)F_{X}^{-1}\left(u\right)=a+\left(b-a\right)\times \sin^{2}\left(\frac{\pi}{2}u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫01xkfX~(x)dx=1πBeta(12,k+12)=(2k−1)!!2kk!\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{1}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{1}{\pi}\text{Beta}\left(\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}\right)=\frac{\left(2k-1\right)!!}{2^{k}k!}

Media paramétrica

Mean(X)=a+μ~1′(b−a)=a+12(b−a)\mathrm{Mean}(X)=a+\tilde{\mu}'_{1}\left(b-a\right)= a+\frac{1}{2}\left(b-a\right)

Varianza paramétrica

Variance(X)=(b−a)2×(μ~2′−μ~1′2)=(b−a)28\mathrm{Variance}(X)=\left(b-a\right)^{2}\times (\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\frac{\left(b-a\right)^{2}}{8}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=3−32\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=3-\frac{3}{2}

Mediana paramétrica

Median(X)=a+(b−a)×sin⁡2(π4)\mathrm{Median}(X)=a+\left(b-a\right)\times \sin^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=undefined\mathrm{Mode}(X)=\text{undefined}

Información y definiciones adicionales

X~∼Arcsine(0,1)\tilde{X}\sim \mathrm{Arcsine}\left(0,1\right)
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}