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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN ARCOSENO

Definición de distribución

X∼Arcsine(a,b)X\sim\mathrm{Arcsine}\left(a,b\right)

Dominio de distribución

x∈(a,b)x\in\left(a,b\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R,b∈R,a<ba\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R},a < b

Función de distribución acumulada

FX(x)=2πarcsin⁡(x−ab−a)F_{X}(x)=\frac{2}{\pi}\arcsin\left(\sqrt\frac{x-a}{b-a}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1π(x−a)(b−x)f_{X}(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{(x-a)(b-x)}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=a+(b−a)×sin⁡2(π2u)F_{X}^{-1}\left(u\right)=a+\left(b-a\right)\times \sin^{2}\left(\frac{\pi}{2}u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫01xkfX~(x)dx=1πBeta(12,k+12)=(2k−1)!!2kk!\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{1}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{1}{\pi}\text{Beta}\left(\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}\right)=\frac{\left(2k-1\right)!!}{2^{k}k!}

Media paramétrica

Mean(X)=a+μ~1′(b−a)=a+12(b−a)\mathrm{Mean}(X)=a+\tilde{\mu}'_{1}\left(b-a\right)= a+\frac{1}{2}\left(b-a\right)

Varianza paramétrica

Variance(X)=(b−a)2×(μ~2′−μ~1′2)=(b−a)28\mathrm{Variance}(X)=\left(b-a\right)^{2}\times (\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\frac{\left(b-a\right)^{2}}{8}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=3−32\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=3-\frac{3}{2}

Mediana paramétrica

Median(X)=a+(b−a)×sin⁡2(π4)\mathrm{Median}(X)=a+\left(b-a\right)\times \sin^{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=undefined\mathrm{Mode}(X)=\text{undefined}

Información y definiciones adicionales

X~∼Arcsine(0,1)\tilde{X}\sim \mathrm{Arcsine}\left(0,1\right)
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}