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DISTRIBUCIONES / CONTINUAS / ARGUS

Distribución Argus

Retrato

ARGUS es una distribución continua acotada que combina un factor de espacio de fases con una caída exponencial hasta un umbral. Su variable típica es una masa reconstruida que no puede superar una energía o masa cinemática conocida.

Huellas históricas

El nombre procede del experimento ARGUS del colisionador DORIS II en DESY. La función se hizo familiar en física de partículas como modelo empírico del fondo combinatorio bajo un límite cinemático.

Dos conexiones útiles

  • A diferencia de una normal o una Crystal Ball, ARGUS está diseñada alrededor de un umbral superior. En un análisis de masa invariante suele combinarse con una función de señal, como una gaussiana o una forma de resonancia, en un ajuste de mezcla.
  • El nombre es un acrónimo del experimento, A Russian–German–United States–Swedish collaboration, y no una referencia al gigante mitológico Argos.

Caso de uso

Su aplicación más reconocible es modelar eventos de fondo en la variable m_ES o en masas invariantes reconstruidas. El parámetro de forma cambia la curvatura del fondo; el límite superior debe venir de la cinemática o del diseño del análisis.

Consejo de diagnóstico

El ajuste puede confundir una señal estrecha con la curvatura del fondo si el endpoint, la resolución del detector o la región de ajuste se dejan sin justificar.

Un fondo que desaparece al llegar al límite cinemático

En una reconstrucción de masa, combinaciones accidentales pueden llenar la región inferior pero no superar la energía disponible. ARGUS fue creada para ese fondo: la densidad cae hasta cero en un límite superior conocido, con chi controlando la curvatura de la caída.

El nombre procede del experimento de física de partículas ARGUS y de su colaboración internacional. No alude al personaje mitológico. En un ajuste de señal, esta componente suele convivir con una Gaussiana o una forma de resonancia. El extremo debe venir de la cinemática o calibración; dejar que la muestra lo mueva libremente puede hacer que el fondo absorba parte de la señal. La versión de Phitter reescala el soporte mediante loc y scale.

Guía de elección

Buena candidata cuando: hay un límite superior físico y la densidad debe caer a cero al acercarse a ese corte, como en ciertos fondos cinemáticos.

Compárala con: Beta o una distribución de extremos transformada. Verifica el comportamiento justo antes del límite: el corte ARGUS es una restricción de forma, no solo de soporte.

Referencias

Distribución Argus: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Argus(χ,Loc,Sc)X\sim\mathrm{Argus}\left(\chi,\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,Loc+Sc)x\in\left(\text{Loc},\text{Loc}+\text{Sc}\right)

Dominio y restricciones de parámetros

χ∈R+,Loc∈R,Sc∈R+\chi\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−Ψ(χ1−z(x)2)Ψ(χ)F_{X}\left(x\right)=1-\frac{\Psi\left(\chi\sqrt{1-z(x)^2}\right)}{\Psi(\chi)}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Sc⋅χ32π Ψ(χ)⋅z(x)1−z(x)2exp⁡(−12χ2(1−z(x)2))f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\text{Sc}}\cdot\frac{\chi^3}{\sqrt{2\pi}\,\Psi(\chi)}\cdot z(x)\sqrt{1-z(x)^2}\exp\left(-\frac12 \chi^2\Big(1-z(x)^2\Big)\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+Sc1−2P−1(32,(1−u)P(32,χ22))χ2F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\sqrt{1-\frac{2\text{P}^{-1}(\frac{3}{2},(1-u)\text{P}(\frac{3}{2},\frac{\chi^{2}}{2}))}{\chi^{2}}}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫LocLoc+ScxkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\text{Loc}}^{\text{Loc}+\text{Sc}}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=Loc+Scπ/8 χe−χ24I1(χ24)Ψ(χ)\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\text{Loc}+\text{Sc}\sqrt{\pi/8}\,\frac{\chi e^{-\frac{\chi^2}{4}} I_1(\tfrac{\chi^2}{4})}{\Psi(\chi)}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=Sc2⋅(1−3χ2+χϕ(χ)Ψ(χ))−(μ−Loc)2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\text{Sc}^2\cdot\left(1-\frac{3}{\chi^2}+\frac{\chi\phi(\chi)}{\Psi(\chi)}\right)-(\mu-\text{Loc})^2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Sc1−2P−1(32,12P(32,χ22))χ2\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\sqrt{1-\frac{2\text{P}^{-1}(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\text{P}(\frac{3}{2},\frac{\chi^{2}}{2}))}{\chi^{2}}}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+Sc2χ(χ2−2)+χ4+4\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\frac{\text{Sc}}{\sqrt2\chi}\sqrt{(\chi^2-2)+\sqrt{\chi^4+4}}

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz(x)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Ψ(χ)=Φ(χ)−χϕ(χ)−12\Psi(\chi)=\Phi(\chi)- \chi \phi( \chi )-\tfrac{1}{2}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi(x):\text{CDF normal standard distribution}
ϕ(x):PDF normal standard distribution\phi(x):\text{PDF normal standard distribution}
Iα(x):Modified Bessel function of the first kind of order α∈NI_{\alpha}\left(x\right):\text{Modified Bessel function of the first kind of order }\alpha\in\mathbb{N}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}(a,x)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,y):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}(a,y):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma(a,x):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma(x):\text{Gamma function}