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Distribución Normal Generalizada

Perfil

La Normal Generalizada, también llamada exponencial de potencia o distribución de Subbotin, extiende la normal cambiando la potencia de la distancia al centro. Es simétrica, pero controla de forma explícita el peso de las colas.

Rasgo Lectura
Soporte Vive en toda la recta. mu es el centro, alpha la escala y beta la potencia: beta=2 da normal; beta=1 da Laplace.
Forma Conecta normal y Laplace dentro de un continuo de colas. Para potencias menores que 2 suele asignar más masa a colas que la normal; para potencias mayores, la concentración alrededor del centro es más fuerte.

Origen y terminología

La familia fue estudiada en distintas formas por Subbotin y se popularizó con nombres como generalized error distribution en estadística robusta y series temporales.

En modelos reales

  • errores simétricos y regresión robusta
  • residuos de series temporales, imágenes y señales con colas no gaussianas

Comparaciones

No interpretar beta como una probabilidad; es una potencia de forma y su escala alpha no coincide automáticamente con la desviación estándar.

Una perilla continua entre Laplace, Normal y una caja

La Normal Generalizada de tipo exponencial de potencia modifica el exponente de la distancia al centro. Con beta=1 recupera Laplace. Con beta=2 produce una Normal después de traducir la escala. Cuando beta crece sin límite, la forma se acerca a una Uniforme simétrica sobre un intervalo.

También se conoce como distribución de Subbotin. Valores pequeños crean un pico agudo y colas pesadas; valores grandes aplanan el centro y aligeran las colas. La familia sigue siendo simétrica, por lo que no puede explicar sesgo aunque ajuste bien la curtosis. En imágenes, señales y errores robustos, separar falta de simetría de peso de cola evita pedirle a beta que resuelva dos problemas distintos.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los errores son simétricos pero su pico y curtosis no concuerdan con una Normal.

Compárala con: t de Student para colas algebraicas y una familia asimétrica si los residuos están sesgados. Generalized Normal cambia curtosis, no asimetría.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.gennorm — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Subbotin, M. T. (1923). On the law of frequency of errors. Matematicheskii Sbornik, 31, 296–301.
  • Box, G. E. P. & Tiao, G. C. (1973). Bayesian Inference in Statistical Analysis. Wiley.

Distribución Normal Generalizada: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼GeneralizedNormal(β,μ,α)X\sim\mathrm{GeneralizedNormal}\left(\beta,\mu,\alpha\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,+∞)x\in\left(-\infty,+\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

β∈R+,μ∈R,α∈R+\beta\in\mathbb{R}^{+},\mu\in\mathbb{R},\alpha\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=12+sign(x−μ)2Γ(1/β)γ(1/β,∣x−μα∣β)=12+sign(x−μ)2P(1/β,∣x−μα∣β)F_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{\text{sign}(x-\mu)}{2\Gamma( 1/\beta ) } \gamma\left(1/\beta,\left|\frac{x-\mu}{\alpha}\right|^\beta\right)=\frac{1}{2}+\frac{\text{sign}(x-\mu)}{2} \text{P}\left(1/\beta,\left|\frac{x-\mu}{\alpha}\right|^\beta\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=β2αΓ(1/β)exp⁡(−(∣x−μ∣α)β)f_{X}\left(x\right)=\frac{\beta}{2\alpha\Gamma(1/\beta)}\exp\left(-\left(\frac{|x-\mu|}{\alpha}\right)^\beta\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=sign(u−12)[αβP−1(1β,2∣u−12∣)]1/β+μF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{sign}(u-\frac{1}{2}) \left[\alpha^\beta \text{P}^{-1}\left(\frac{1}{\beta},2|u-\frac{1}{2}|\right)\right]^{1/\beta}+\mu

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx={0if k is oddαkΓ(k+1β)/Γ(1β)if k is even\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{if }k\text{ is odd} \\ \alpha^{k} \Gamma\left(\frac{k+1}{\beta}\right) \Big/ \Gamma\left(\frac{1}{\beta}\right) & \text{if }k\text{ is even}\end{array} \right.

Media paramétrica

Mean(X)=μ+αμ1′=μ\mathrm{Mean}(X)=\mu+\alpha\mu'_{1}=\mu

Varianza paramétrica

Variance(X)=α2(μ2′−μ1′2)=α2Γ(3/β)Γ(1/β)\mathrm{Variance}(X)=\alpha^2(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\frac{\alpha^2\Gamma(3/\beta)}{\Gamma(1/\beta)}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=Γ(5/β)Γ(1/β)Γ(3/β)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\frac{\Gamma(5/\beta)\Gamma(1/\beta)}{\Gamma(3/\beta)^2}

Mediana paramétrica

Median(X)=μ\mathrm{Median}(X)=\mu

Moda paramétrica

Mode(X)=μ\mathrm{Mode}(X)=\mu

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
α:Scale parameter\alpha:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}