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Distribución Erlang

La idea en una frase

Erlang describe el tiempo de espera hasta el k-ésimo evento en un proceso de Poisson con tasa constante. Cuando k=1 es exponencial; cuando k es entero, puede leerse como suma de esperas exponenciales independientes.

Soporte e interpretación

Es positiva y tiene forma Gamma con parámetro de forma entero. k controla cuántas etapas deben completarse y beta la escala media de cada etapa.

Un lugar dentro de la familia

Erlang es la Gamma de forma entera y la suma de exponentiales. También está detrás de la distribución de Poisson: contar eventos en un intervalo y esperar al evento k intercambian perspectivas del mismo proceso.

Una lectura aplicada

Es apropiada cuando el tiempo total es la suma de varias fases aproximadamente exponenciales. Si las etapas no son independientes o tienen tasas distintas, una Gamma generalizada o una hypoexponential puede ser más fiel.

No interpretar k como un número de llamadas simultáneas: aquí cuenta fases o eventos acumulados en el tiempo de espera.

De llamadas telefónicas a cadenas de etapas

Agner Krarup Erlang desarrolló su teoría mientras estudiaba tráfico telefónico en Copenhague. Si las llamadas llegan como un proceso Poisson, el tiempo hasta la llamada número k es Erlang. La misma suma describe un trabajo que debe completar k etapas exponenciales independientes con igual tasa.

Por eso Erlang ocupa un lugar especial entre Gamma y los modelos de colas. Su forma debe ser un entero y esa restricción puede representar fases reales, no solo una conveniencia numérica. Al aumentar k, el tiempo total se concentra alrededor de su media. Si las etapas tienen tasas distintas aparece una ley hipoexponencial, no Erlang. Si el número de etapas es solo una metáfora, una Gamma con forma libre puede ser más honesta.

Guía de elección

Buena candidata cuando: el tiempo total es la suma de un número entero de etapas exponenciales independientes con una tasa común.

Compárala con: Gamma si el número de etapas efectivo no necesita ser entero, e Hipoexponencial si las etapas tienen tasas distintas. Esa estructura vale más que una diferencia pequeña de ajuste.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.erlang — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
  • Erlang, A. K. (1909). The theory of probabilities and telephone conversations. Nyt Tidsskrift for Matematik B, 20, 33–39.

Distribución Erlang: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Erlang(k,β)X\sim\mathrm{Erlang}\left(k,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

k∈N+,β∈R+k\in\mathbb{N}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(k,xβ)=γ(k,xβ)(k−1)!F_{X}\left(x\right)=\text{P}(k,\frac{x}{\beta})=\frac{\gamma(k,\frac{x}{\beta})}{(k-1)!}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=xk−1e−xββk(k−1)!f_{X}\left(x\right)=\frac{x^{k-1} e^{-\frac{x}{\beta}}}{\beta^k(k-1)!}

Función de punto percentil

FX−1(u)=βP−1(k,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\beta \text{P}^{-1}\left(k,u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μn′=E[Xn]=∫0∞xnfX(x)dx=βnΓ(n+k)Γ(k)\mu'_{n}=E[X^n]=\int_{0}^{\infty}x^{n}f_{X}\left(x\right)dx=\beta^{n}\frac{\Gamma\left(n+k\right)}{\Gamma(k)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=P(k,12β)\mathrm{Median}(X)=\text{P}(k,\frac{1}{2\beta})

Moda paramétrica

Mode(X)=β(k−1)\mathrm{Mode}(X)=\beta\left(k-1\right)

Información y definiciones adicionales

β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}