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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN ERLANG

Definición de distribución

X∼Erlang(k,β)X\sim\mathrm{Erlang}\left(k,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

k∈N+,β∈R+k\in\mathbb{N}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(k,xβ)=γ(k,xβ)(k−1)!F_{X}\left(x\right)=\text{P}(k,\frac{x}{\beta})=\frac{\gamma(k,\frac{x}{\beta})}{(k-1)!}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=xk−1e−xββk(k−1)!f_{X}\left(x\right)=\frac{x^{k-1} e^{-\frac{x}{\beta}}}{\beta^k(k-1)!}

Función de punto percentil

FX−1(u)=βP−1(k,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\beta \text{P}^{-1}\left(k,u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μn′=E[Xn]=∫0∞xnfX(x)dx=βnΓ(n+k)Γ(k)\mu'_{n}=E[X^n]=\int_{0}^{\infty}x^{n}f_{X}\left(x\right)dx=\beta^{n}\frac{\Gamma\left(n+k\right)}{\Gamma(k)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=P(k,12β)\mathrm{Median}(X)=\text{P}(k,\frac{1}{2\beta})

Moda paramétrica

Mode(X)=β(k−1)\mathrm{Mode}(X)=\beta\left(k-1\right)

Información y definiciones adicionales

β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}