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Distribución Gamma Generalizada 4P

Por qué existe

Generalized Gamma 4P es la versión desplazada de la familia de Stacy. Añade un origen loc a una superfamilia que ya puede aproximar Gamma, Weibull y lognormal en la parte positiva.

Nombre alternativo

También se llama four-parameter generalized gamma o generalized gamma con localización.

Construcciones y límites

Con loc=0 vuelve a Generalized Gamma. Las subfamilias Gamma y Weibull conservan su relación, pero un loc libre puede hacer menos clara la comparación con esos casos anidados.

Aplicaciones

Puede representar un tiempo de preparación seguido por una duración flexible. En datos médicos, por ejemplo, un cero temporal puede ser el inicio de seguimiento y no el inicio biológico del riesgo.

No liberar localización, forma y escala a la vez sin suficiente información: la familia puede ajustar casi cualquier sesgo positivo y volver ambiguas las conclusiones.

Una superfamilia con el origen en movimiento

La cuarta coordenada añade loc a la construcción de Stacy. Así separa un umbral inferior de las tres decisiones que ya controlan escala y forma. Puede ser útil cuando el fenómeno tiene un inicio físico conocido y después exhibe riesgos que Gamma o Weibull no capturan.

Cuatro parámetros también permiten que el origen y la curvatura se compensen. Una pequeña modificación de loc cambia todos los valores transformados cerca del límite y puede alterar mucho las formas estimadas. El umbral debe contrastarse con conocimiento del proceso, no solo con el mínimo de la muestra. Si su intervalo de incertidumbre es amplio, presentar curvas predictivas suele comunicar mejor el ajuste que atribuir significado separado a cada estimación.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la flexibilidad de Generalized Gamma es necesaria y además existe un umbral físico distinto de cero.

Compárala con: Generalized Gamma sin desplazamiento y submodelos 3P. Exige estabilidad del umbral y de los parámetros de forma mediante remuestreo o perfiles de verosimilitud.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.gengamma — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187–1192.
  • Lawless, J. F. (2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data, 2nd ed. Wiley.

Distribución Gamma Generalizada 4P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼GeneralizedGamma4P(a,d,p,Loc)X\sim\mathrm{GeneralizedGamma_{4P}}\left(a,d,p,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R+,d∈R+,p∈R+,Loc∈Ra\in\mathbb{R}^{+},d\in\mathbb{R}^{+},p\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(d/p,((x−Loc)/a)p)=γ(d/p,((x−Loc)/a)p)Γ(d/p)F_{X}\left(x\right)=\text{P}(d/p,((x-\text{Loc})/a)^p)=\frac{\gamma(d/p,((x-\text{Loc})/a)^p)}{\Gamma(d/p)}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=p/adΓ(d/p)(x−Loc)d−1e−((x−Loc)/a)pf_{X}\left(x\right)=\frac{p/a^d}{\Gamma(d/p)} (x-\text{Loc})^{d-1}e^{-((x-\text{Loc})/a)^p}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+aP−1(dp,u)1pF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+a\text{P}^{-1}\left(\frac{d}{p},u\right)^{\frac{1}{p}}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=akΓ(d+kp)Γ(dp)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=a^k\frac{\Gamma (\frac{d+k}{p})}{\Gamma(\frac{d}{p})}

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+aP−1(dp,12)1p\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+a\text{P}^{-1}\left(\frac{d}{p},\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{p}}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+a(d−1p)1pif d>1\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+a\left(\frac{d-1}{p}\right)^{\frac{1}{p}} \quad \text{if } d>1

Información y definiciones adicionales

X~∼GeneralizedGamma(a,d,p)\tilde{X}\sim\mathrm{GeneralizedGamma}\left(a,d,p\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
a:Scale parametera:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}