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Distribución Binomial

La idea en una frase

Binomial cuenta cuántos éxitos aparecen en n ensayos Bernoulli independientes con la misma probabilidad p. Es un modelo de conteo con un número de oportunidades fijado de antemano.

Soporte e interpretación

El soporte es {0,1,…,n}. n fija el máximo posible y p mueve la masa entre cero y n; la varianza máxima relativa ocurre cerca de p=1/2.

Un lugar dentro de la familia

Es la suma de Bernoulli y se aproxima a Poisson cuando n crece, p es pequeño y np permanece moderado. Para n grande también puede aproximarse por Normal con correcciones de continuidad.

Una lectura aplicada

La pregunta binomial es “¿cuántos éxitos en estas n oportunidades?”. Si el número de oportunidades es aleatorio, hay que revisar si Poisson, Binomial Negativa o un modelo jerárquico representa mejor el proceso.

No aplicar Binomial solo porque la respuesta sea 0/1; la ley requiere número fijo de ensayos y probabilidad común bajo la formulación simple.

El denominador forma parte de la historia

Contar 18 respuestas positivas dice poco hasta saber si hubo 20 oportunidades o 20 000. En la Binomial, n no es un detalle administrativo: fija el máximo posible y determina cuánto puede variar el conteo. Por eso encaja en lotes inspeccionados, lanzamientos y encuestas con un número de respuestas conocido.

La aproximación de Poisson resulta útil cuando hay muchas oportunidades y cada éxito es raro, siempre que np permanezca en una escala moderada. La aproximación Normal sirve cuando hay suficiente masa lejos de ambos extremos. Ninguna aproximación repara dependencia, contagio entre ensayos o probabilidades distintas. Si la variación observada supera claramente a np × [1-p], conviene investigar heterogeneidad, agrupación o un modelo beta-binomial.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se cuenta el número de éxitos en un total fijo de ensayos independientes con la misma probabilidad.

Compárala con: Poisson para eventos raros y Beta-binomial cuando hay sobredispersión o probabilidades heterogéneas. Comprueba que n sea realmente fijo y conocido.

Referencias

Distribución Binomial: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Binomial(n,p)X\sim\mathrm{Binomial}\left(n,p\right)

Dominio de distribución

x∈N≡{0,1,2,… }x\in\mathbb{N}\equiv \left\{ 0,1,2,\dots \right\}

Dominio y restricciones de parámetros

n∈N,p∈(0,1)⊆Rn\in\mathbb{N},p\in\left(0,1\right)\subseteq\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=∑i=0x(ni)pi(1−p)n−i=I(1−p,n−x,1+x)F_{X}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{x} \binom{n}{i} p^i(1-p)^{n-i}=I(1-p, n - x, 1 + x)

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=(nx)px(1−p)n−xf_{X}\left(x\right)=\binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}

Función de punto percentil

FX−1(u)=arg⁡min⁡x∣FX(x)−u∣F^{-1}_{X}\left(u\right)=\arg\min_{x}\left| F_{X}\left(x\right)-u \right|

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x=0∞xkfX(x)=∑i=0kn!(n−i)!S(k,i)piE[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x=0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)=\sum_{i=0}^k\tfrac{n!}{(n-i)!}S(k,i)p^{i}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=np\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=np

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=np(1−p)\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=np(1-p)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=1−2pnp(1−p)\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+1−6p(1−p)np(1−p)\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}

Mediana paramétrica

Median(X)=⌊np⌋∨⌈np⌉\mathrm{Median}(X)=\lfloor{np}\rfloor \vee \lceil{np}\rceil

Moda paramétrica

Mode(X)=⌊(n+1)p⌋∨⌈(n+1)p⌉−1\mathrm{Mode}(X)=\lfloor (n + 1)p \rfloor \vee \lceil (n + 1)p \rceil - 1

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. However, it is possible to calculate the Percentile Point Function by approximating it to the nearest integer.
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
⌊x⌋:Floor function\lfloor{x}\rfloor: \text{Floor function}
⌈x⌉:Ceiling Function\lceil{x}\rceil: \text{Ceiling Function}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
S(a,b):Stirling numbers of the second kind=1b!∑j=0b(−1)b−j(bj)jaS(a,b):\text{Stirling numbers of the second kind}=\frac1{b!}\sum_{j=0}^b(-1)^{b-j}\binom {b}{j} j^a