PLAYGROUND

Distribución Hypergeometrica

Perfil

Hipergeométrica cuenta éxitos al extraer una muestra sin reemplazo de una población finita. La dependencia entre extracciones es precisamente lo que la distingue de Binomial.

Muestreo Modelo natural
con reemplazo / independiente Binomial
sin reemplazo, población finita Hipergeométrica
población grande, fracción pequeña aproximación Binomial

Origen y terminología

La distribución se consolidó en muestreo finito, urnas y tablas de contingencia. Su papel en estadística exacta está ligado a Fisher y a pruebas de asociación.

En modelos reales

  • control de calidad sin devolver piezas a la población
  • selección de cartas, genética y tablas de contingencia con márgenes fijos

Comparaciones

Verificar que los nombres K y n correspondan a la base de datos: invertir población y muestra produce probabilidades distintas.

Una urna que recuerda cada extracción

Imagine una caja con piezas conformes y defectuosas. Después de extraer una pieza sin devolverla, la composición de la caja cambia. Esa memoria física produce la Hipergeométrica y la separa de la Binomial, cuyo experimento mantiene la misma probabilidad en cada intento.

El factor de corrección por población finita reduce la varianza cuando la muestra ocupa una fracción apreciable de la población. Si la población es enorme frente a la muestra, ese efecto desaparece y la Binomial se vuelve una aproximación razonable. La misma lógica sostiene el test exacto de Fisher cuando los márgenes de una tabla se consideran fijos. En auditoría y control de calidad, ignorar la ausencia de reemplazo suele exagerar la incertidumbre.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se cuentan éxitos al extraer una muestra sin reemplazo de una población finita con composición conocida.

Compárala con: Binomial cuando hay reemplazo o la fracción muestreada es despreciable. La corrección por población finita reduce la varianza y no debe omitirse con fracciones de muestreo grandes.

Referencias

Distribución Hypergeometrica: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Hypergeometric(N,K,n)X\sim\mathrm{Hypergeometric}\left(N,K,n\right)

Dominio de distribución

x∈{max⁡(0,n+K−N),min⁡(n,K)}x\in\left\{\max{(0,n+K-N)}, \min{(n, K )}\right\}

Dominio y restricciones de parámetros

N∈N,K∈{0…N},n∈{0…N}N\in\mathbb{N},K\in\left\{0\dots N\right\},n\in\left\{0\dots N\right\}

Función de distribución acumulada

FX(x)=∑i=0x(Ki)(N−Kn−i)/(Nn)F_{X}\left(x\right)=\sum_{i=0}^{x}\binom{K}{i}\binom{N-K}{n-i}\bigg/\binom{N}{n}

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=(Kx)(N−Kn−x)/(Nn)f_{X}\left(x\right)=\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}\bigg/\binom{N}{n}

Función de punto percentil

FX−1(u)=arg⁡min⁡x∣FX(x)−u∣F^{-1}_{X}\left(u\right)=\arg\min_{x}\left| F_{X}\left(x\right)-u \right|

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x=max⁡(0,n+K−N)min⁡(n,K)xkfX(x)E[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x=\max{(0,n+K-N)}}^{\min{(n, K )}}x^{k}f_{X}\left(x\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=nKN\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{nK}{N}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=nKNN−KNN−nN−1\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=n\frac{K}{N}\frac{N-K}{N}\frac{N-n}{N-1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=(N−2K)(N−1)12(N−2n)[nK(N−K)(N−n)]12(N−2)\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{(N-2K)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+1nK(N−K)(N−n)(N−2)(N−3)\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{1}{n K(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(0.5)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(0.5\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=⌊(n+1)(K+1)N+2⌋\mathrm{Mode}(X)=\left \lfloor \frac{(n+1)(K+1)}{N+2} \right \rfloor

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. However, it is possible to calculate the Percentile Point Function by approximating it to the nearest integer.
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
⌊x⌋:Floor function\lfloor{x}\rfloor: \text{Floor function}
⌈x⌉:Ceiling Function\lceil{x}\rceil: \text{Ceiling Function}