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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN GEOMETRICA

Definición de distribución

X∼Geometric(p)X\sim\mathrm{Geometric}\left(p\right)

Dominio de distribución

x∈N+≡{1,2,… }x\in\mathbb{N}^{+}\equiv \left\{1,2,\dots\right\}

Dominio y restricciones de parámetros

p∈(0,1)⊆Rp\in\left(0,1\right)\subseteq\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−(1−p)⌊x⌋F_{X}\left(x\right)=1-(1 - p)^{\lfloor x\rfloor}

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=(1−p)x−1pf_{X}\left(x\right)=(1 - p)^{x-1}p

Función de punto percentil

FX−1(u)=⌈ln⁡(1−u)ln⁡(1−p)⌉F^{-1}_{X}\left(u\right)=\left\lceil{\frac{\ln{(1-u)}}{\ln{(1-p)}}}\right\rceil

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x=0∞xkfX(x)=∑x=0∞(1−p)xp⋅xkE[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x=0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)=\sum_{x=0}^\infty (1-p)^x p\cdot x^k

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=1p\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{1}{p}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=1−pp2\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\frac{1-p}{p^2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2−p1−p\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=9+p21−p\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=9+\frac{p^2}{1-p}

Mediana paramétrica

Median(X)=⌈−1log⁡2(1−p)⌉\mathrm{Median}(X)=\left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil

Moda paramétrica

Mode(X)=1\mathrm{Mode}(X)=1

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
⌊x⌋:Floor function\lfloor{x}\rfloor: \text{Floor function}
⌈x⌉:Ceiling Function\lceil{x}\rceil: \text{Ceiling Function}