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Distribución Geometrica

De un fenómeno a un modelo

Es una de las primeras leyes de espera en probabilidad y aparece naturalmente en la teoría de Bernoulli y Pascal. Su formulación moderna se usa en fiabilidad, colas y procesos de conteo.

Lo que conviene mirar

Es un conteo positivo y p es la probabilidad de éxito en cada ensayo. Su propiedad distintiva es la falta de memoria en tiempo discreto.

Relaciones útiles

Es el tiempo hasta el primer éxito y la Binomial Negativa es el tiempo hasta r éxitos. Cuando p es pequeño, su cola larga contrasta con la rapidez de una Geométrica con p grande; una mezcla de probabilidades produce modelos sobredispersos.

Nombres que también encontrarás

También se llama geometric distribution o distribución de espera de Pascal. Algunos textos cuentan fracasos antes del éxito y usan soporte {0,1,…}; esa es otra convención.

Cuándo tiene sentido

La falta de memoria permite reiniciar el proceso sin cambiar la ley: saber que ya fallaron varios intentos no modifica el futuro bajo independencia y p constante.

Qué no debe suponerse

Confirmar el soporte antes de interpretar p: el mismo nombre puede producir una media 1/p o una unidad menos según la convención.

Dos relojes con el mismo nombre

Hay dos convenciones legítimas. Un reloj cuenta ensayos hasta el primer éxito y empieza en uno. El otro cuenta fracasos antes del éxito y empieza en cero. Phitter emplea la primera. Esta diferencia de una unidad altera la media, los cuantiles y cualquier interpretación operativa, aunque la probabilidad de éxito sea idéntica.

La Geométrica es la única ley discreta sin memoria sobre enteros no negativos, después de ajustar la convención del soporte. Haber esperado muchos intentos no vuelve más cercano el éxito siguiente. Esa propiedad describe bien ensayos independientes, pero es poco creíble cuando hay aprendizaje, desgaste o fatiga. Al sumar varias esperas geométricas aparece la Binomial Negativa, de modo que ambas cuentan la misma secuencia desde puntos de vista complementarios.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se cuenta cuántos ensayos se requieren hasta el primer éxito y la probabilidad permanece constante.

Compárala con: Negative Binomial para esperar varios éxitos. Confirma si la implementación cuenta ensayos desde uno o fallos desde cero antes de interpretar medias y cuantiles.

Referencias

Distribución Geometrica: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Geometric(p)X\sim\mathrm{Geometric}\left(p\right)

Dominio de distribución

x∈N+≡{1,2,… }x\in\mathbb{N}^{+}\equiv \left\{1,2,\dots\right\}

Dominio y restricciones de parámetros

p∈(0,1)⊆Rp\in\left(0,1\right)\subseteq\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−(1−p)⌊x⌋F_{X}\left(x\right)=1-(1 - p)^{\lfloor x\rfloor}

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=(1−p)x−1pf_{X}\left(x\right)=(1 - p)^{x-1}p

Función de punto percentil

FX−1(u)=⌈ln⁡(1−u)ln⁡(1−p)⌉F^{-1}_{X}\left(u\right)=\left\lceil{\frac{\ln{(1-u)}}{\ln{(1-p)}}}\right\rceil

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x=0∞xkfX(x)=∑x=0∞(1−p)xp⋅xkE[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x=0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)=\sum_{x=0}^\infty (1-p)^x p\cdot x^k

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=1p\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{1}{p}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=1−pp2\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\frac{1-p}{p^2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2−p1−p\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=9+p21−p\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=9+\frac{p^2}{1-p}

Mediana paramétrica

Median(X)=⌈−1log⁡2(1−p)⌉\mathrm{Median}(X)=\left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil

Moda paramétrica

Mode(X)=1\mathrm{Mode}(X)=1

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
⌊x⌋:Floor function\lfloor{x}\rfloor: \text{Floor function}
⌈x⌉:Ceiling Function\lceil{x}\rceil: \text{Ceiling Function}