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Distribución Poisson

Qué describe

Poisson cuenta eventos en un intervalo cuando ocurren de forma independiente, con tasa media constante y sin simultaneidad apreciable. Un solo parámetro lambda fija tanto la media como la varianza.

El soporte es {0,1,2,…}. lambda debe interpretarse como número esperado en el intervalo elegido, no como una probabilidad entre 0 y 1.

Historia y nombres

Siméon-Denis Poisson presentó la ley en 1837 al estudiar probabilidades de juicios y eventos raros. La teoría moderna la conecta con procesos de llegadas y con el límite de Binomial.

Relación con otras distribuciones

Es el límite de Binomial para eventos raros y el conteo asociado a tiempos Exponenciales. La diferencia de dos Poisson independientes produce Skellam; mezclar su tasa con una Gamma produce Binomial Negativa.

Dónde aparece

  • llegadas, llamadas, fallos o accidentes por unidad de tiempo
  • recuentos de eventos raros, tráfico, epidemiología y astronomía

Precauciones al ajustar

Igualdad media-varianza es una implicación del modelo, no una ley de los datos; comprobarla no basta para validar independencia o tasa constante.

Cuando una tasa se convierte en conteo

Poisson publicó su ley en 1837, pero su fama aplicada creció con ejemplos de sucesos raros. Bortkiewicz analizó en 1898 muertes por coces de caballo en cuerpos del ejército prusiano, un caso histórico que mostró cómo conteos dispersos podían compararse mediante una tasa común.

El modelo posee una firma exigente: media y varianza son iguales. Una varianza mayor puede revelar tasas heterogéneas, contagio o eventos agrupados; una menor puede indicar inhibición o un número limitado de oportunidades. Al sumar procesos Poisson independientes se suman sus tasas. Al condicionar dos conteos independientes a su total, uno de ellos se vuelve Binomial. Estas propiedades hacen de Poisson una pieza central de colas, epidemiología y procesos puntuales, no solo una curva para datos pequeños.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se cuentan eventos independientes durante una exposición conocida con tasa aproximadamente constante y media cercana a la varianza.

Compárala con: Binomial Negativa para sobredispersión y modelos con exposición, tendencias o inflación de ceros cuando corresponda. La igualdad media-varianza es un diagnóstico, no una regla para forzar.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.poisson — definición y parametrización

  • Bortkiewicz, L. von (1898). Das Gesetz der kleinen Zahlen. Teubner.

  • Johnson, N. L., Kemp, A. W. & Kotz, S. (2005). Univariate Discrete Distributions, 3rd ed. Wiley.

  • Poisson, S.-D. (1837). Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Bachelier.

  • Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.

Distribución Poisson: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Poisson(λ)X\sim\mathrm{Poisson}\left(\lambda\right)

Dominio de distribución

x∈N≡{0,1,2,… }x\in\mathbb{N}\equiv \left\{0,1,2,\dots\right\}

Dominio y restricciones de parámetros

λ∈R+\lambda\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=e−λ∑i=0xλii!=1−γ(x+1,λ)x!=1−P(x−1,λ)F_{X}\left(x\right)=e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{x} \frac{\lambda^i}{i!}=1-\frac{\gamma(x+1, \lambda)}{x!}=1-P(x-1,\lambda)

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=λxe−λx!f_{X}\left(x\right)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}

Función de punto percentil

FX−1(u)=arg⁡min⁡x∣FX(x)−u∣F^{-1}_{X}\left(u\right)=\arg\min_{x}\left| F_{X}\left(x\right)-u \right|

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x=0∞xkfX(x)E[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x=0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=λ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\lambda

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=λ\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\lambda

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=λ−1/2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\lambda^{-1/2}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+λ−1\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\lambda^{-1}

Mediana paramétrica

Median(X)=⌊λ+1/3−0.02/λ⌋\mathrm{Median}(X)=\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor

Moda paramétrica

Mode(X)=⌊λ⌋\mathrm{Mode}(X)=\lfloor\lambda\rfloor

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. However, it is possible to calculate the Percentile Point Function by approximating it to the nearest integer.
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
⌊x⌋:Floor function\lfloor{x}\rfloor: \text{Floor function}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma functionP\left(a,x \right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete Gamma function\gamma\left(a,x \right):\text{Lower incomplete Gamma function}