Distribución Bernoulli

Qué describe

Bernoulli es el modelo de un solo ensayo con dos resultados: éxito o fracaso. Al codificar el resultado como 1 o 0, toda la distribución queda determinada por p, la probabilidad del éxito.

Su soporte es {0,1}. La media es p y la varianza es p × [1-p], pero el significado de 1 depende de cómo se haya definido el evento.

Historia y nombres

Jakob Bernoulli estudió ensayos binarios y la ley de los grandes números en Ars Conjectandi, publicada póstumamente en 1713. El nombre honra la estructura de dos resultados, no una aplicación concreta.

Relación con otras distribuciones

La suma de ensayos Bernoulli independientes con la misma p es Binomial. Geométrica cuenta cuántos ensayos hacen falta hasta el primer éxito; Binomial Negativa generaliza la espera hasta varios éxitos.

Dónde aparece

• respuestas binarias, controles de calidad y pruebas de presencia/ausencia
• modelos de clasificación y variables indicadoras en regresión

Precauciones al ajustar

No confundir probabilidad p con porcentaje observado en una sola muestra: el conteo observado es evidencia sobre p, no su identidad.

El pequeño mecanismo detrás de modelos grandes

Una sola observación Bernoulli parece modesta, pero funciona como un ladrillo estadístico. Al sumar ensayos aparece la Binomial. Al permitir que la probabilidad cambie con características observadas aparece la regresión logística. Una secuencia de indicadores también convierte preguntas complejas en conteos: cada indicador puede señalar si una máquina falló, si llovió o si una persona respondió.

La codificación merece atención. Intercambiar cero y uno sustituye p por 1-p; la evidencia no cambia, pero sí cambian el significado del parámetro y el signo de algunos efectos. Tampoco debe confundirse una variable Bernoulli con una probabilidad medida. La primera solo toma dos valores, mientras que una probabilidad incierta vive en un intervalo y suele modelarse con Beta.

Guía de elección

Buena candidata cuando: cada observación es un único ensayo con exactamente dos resultados y una probabilidad de éxito común.

Compárala con: Binomial para totales de varios ensayos y regresión logística cuando la probabilidad cambia con covariables. La independencia debe justificarse si hay observaciones repetidas.

Referencias

• Referencia de SciPy: scipy.stats.bernoulli — definición y parametrización
• Johnson, N. L., Kemp, A. W. & Kotz, S. (2005). Univariate Discrete Distributions, 3rd ed. Wiley.
• Bernoulli, J. (1713). Ars Conjectandi. Thurneysen.
• Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.