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Distribución Laplace Discreta

Por qué existe

Laplace Discreta es una distribución simétrica sobre enteros cuyo peso decrece geométricamente con la distancia a loc. Es un análogo entero de Laplace y una forma natural de ruido para datos de conteo con diferencias positivas y negativas.

Nombre alternativo

También se conoce como discrete Laplace distribution, bilateral geométrica o distribución de Laplace sobre enteros.

Construcciones y límites

Es la diferencia de dos variables geométricas independientes con la misma tasa en la formulación simétrica. Skellam cumple un papel paralelo para diferencias de Poisson; Laplace continua es el análogo de soporte real.

Aplicaciones

En privacidad diferencial, el ruido discreto permite publicar conteos sin producir valores fraccionarios. En una aplicación, el nivel de ruido debe elegirse junto con sensibilidad y garantía de privacidad, no solo por ajuste visual.

No interpretar a como desviación estándar: la relación con varianza es no lineal y la forma depende de la discretización.

Ruido entero a ambos lados de cero

Una construcción intuitiva resta dos variables Geométricas independientes con el mismo parámetro. Los valores positivos y negativos quedan equilibrados y la probabilidad cae geométricamente al alejarse del centro. Esa genealogía explica el nombre de Laplace Discreta y su relación con diferencias de conteos.

En privacidad diferencial puede añadirse ruido de este tipo a una consulta de valor entero. El parámetro de decaimiento calibra el compromiso entre precisión y ocultamiento. Sin embargo, publicar después un valor recortado o redondeado puede cambiar las garantías y la distribución efectiva. En series de tiempo enteras también puede servir como ley de innovaciones, siempre que la simetría alrededor de loc sea defendible.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se modelan diferencias enteras simétricas alrededor de una ubicación y las colas decrecen geométricamente.

Compárala con: Skellam si la diferencia proviene de dos conteos Poisson. Discrete Laplace describe la forma neta, pero no identifica dos tasas generadoras separadas.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.dlaplace — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kemp, A. W. & Kotz, S. (2005). Univariate Discrete Distributions, 3rd ed. Wiley.
  • Inusah, S. & Kozubowski, T. J. (2006). A discrete analogue of the Laplace distribution. Journal of Statistical Planning and Inference, 136(3), 1090–1102.
  • Dwork, C. & Roth, A. (2014). The Algorithmic Foundations of Differential Privacy. Foundations and Trends in Theoretical Computer Science, 9(3–4), 211–407.

Distribución Laplace Discreta: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼DiscreteLaplace(a,Loc)X\sim\mathrm{DiscreteLaplace}\left(a,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈Loc+Z≡{…,Loc−1,Loc,Loc+1,… }x\in\text{Loc}+\mathbb{Z}\equiv\left\{\dots,\text{Loc}-1,\text{Loc},\text{Loc}+1,\dots\right\}

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R+,Loc∈Za\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{Z}

Función de distribución acumulada

FX(x)={ea(x−Loc+1)1+eaif x<Loc1−e−a(x−Loc)1+eaif x≥LocF_{X}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cl}\dfrac{e^{a\left(x-\text{Loc}+1\right)}}{1+e^{a}} & \text{if } x < \text{Loc} \\[6pt] 1-\dfrac{e^{-a\left(x-\text{Loc}\right)}}{1+e^{a}} & \text{if } x \geq \text{Loc} \end{array}\right.

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=tanh⁡ ⁣(a2)e−a∣x−Loc∣f_{X}\left(x\right)=\tanh\!\left(\frac{a}{2}\right)e^{-a\left|x-\text{Loc}\right|}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+{⌈ln⁡ ⁣(u(1+ea))a−1⌉if u<12⌈−ln⁡ ⁣((1−u)(1+ea))a⌉if u≥12F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\left\{\begin{array}{cl}\left\lceil\dfrac{\ln\!\left(u\left(1+e^{a}\right)\right)}{a}-1\right\rceil & \text{if } u < \tfrac{1}{2} \\[6pt] \left\lceil-\dfrac{\ln\!\left(\left(1-u\right)\left(1+e^{a}\right)\right)}{a}\right\rceil & \text{if } u \geq \tfrac{1}{2} \end{array}\right.

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x∈Loc+ZxkfX(x)E[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x\in\text{Loc}+\mathbb{Z}}x^{k}f_{X}\left(x\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=Loc\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\text{Loc}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=2e−a(1−e−a)2\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\dfrac{2e^{-a}}{\left(1-e^{-a}\right)^{2}}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=5+cosh⁡(a)\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=5+\cosh(a)

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}

Información y definiciones adicionales

a:Shape parameter, controls how rapidly the PMF decays from Loca:\text{Shape parameter, controls how rapidly the PMF decays from }\text{Loc}
Loc:Integer location parameter (peak of the distribution)\text{Loc}:\text{Integer location parameter (peak of the distribution)}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
tanh⁡ ⁣(a2)=1−e−a1+e−a\tanh\!\left(\tfrac{a}{2}\right)=\dfrac{1-e^{-a}}{1+e^{-a}}
cosh⁡(a)=12 ⁣(ea+e−a)\cosh(a)=\tfrac{1}{2}\!\left(e^{a}+e^{-a}\right)
⌊x⌋:Floor function\lfloor{x}\rfloor: \text{Floor function}
⌈x⌉:Ceiling Function\lceil{x}\rceil: \text{Ceiling Function}