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Distribución Uniforme discreta

Perfil

Uniforme Discreta asigna la misma probabilidad a cada entero de un intervalo inclusivo. Es el modelo correcto cuando se elige un número entero sin preferencia entre min y max.

Rasgo Lectura
Soporte El soporte es {min, min+1,…,max}. A diferencia de la uniforme continua, cada punto tiene masa positiva y el número de resultados posibles es finito.
Forma Es la versión discreta de Uniform, pero no una discretización automática de ella: redondear una uniforme continua no produce probabilidades iguales en general. También es la base de muestreos simples sin pesos.

Origen y terminología

La equiprobabilidad discreta aparece en juegos de azar, urnas y generación de enteros aleatorios. Su valor está en declarar explícitamente que el espacio de resultados es finito.

En modelos reales

  • selección aleatoria de enteros, cartas o índices
  • simulación de categorías ordenadas con igual probabilidad

Comparaciones

El soporte es inclusivo: cambiar max por max-1 cambia la cantidad de resultados y todos los momentos.

Un dado justo necesita límites exactos

La Uniforme Discreta es la ley de un dado ideal con caras etiquetadas por enteros consecutivos. Ambos extremos están incluidos, así que el número de resultados posibles es max-min+1. Olvidar ese uno produce errores frecuentes en simulación e índices de arreglos.

Que todos los enteros sean equiprobables es una afirmación fuerte sobre el mecanismo, no una forma automática de expresar ignorancia. Un generador de números también puede introducir sesgo si reduce por módulo un rango que no es múltiplo del número de resultados deseado. Fuera de la simulación, el modelo es adecuado para sorteos bien diseñados y categorías ordenadas elegidas al azar; no para mediciones continuas que fueron redondeadas, cuya masa suele ser distinta en los extremos.

Guía de elección

Buena candidata cuando: solo son posibles enteros consecutivos entre límites conocidos y todos son realmente equiprobables.

Compárala con: una Categorical si las probabilidades difieren y una Uniform continua si la medición no es discreta. Redondear una Uniform continua no siempre produce extremos equiprobables.

Referencias

Distribución Uniforme: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Uniform(a,b)X\sim\mathrm{Uniform}\left(a,b\right)

Dominio de distribución

x∈{a,a+1,…,b−1,b}x\in \{a,a+1,\dots,b-1,b\}

Dominio y restricciones de parámetros

a∈N,b∈N,a<ba\in\mathbb{N},b\in\mathbb{N},a < b

Función de distribución acumulada

FX(x)=x−a+1b−a+1F_{X}\left(x\right)=\frac{x -a+1}{b-a+1}

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=1b−a+1f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{b-a+1}

Función de punto percentil

FX−1(u)=⌈u(b−a+1)+a−1⌉F^{-1}_{X}\left(u\right)=\left\lceil u(b-a+1)+a-1 \right\rceil

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x=abxkfX(x)=1b−a+1∑x=abxkE[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x=a}^{b}x^{k}f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{b-a+1}\sum_{x=a}^{b}x^{k}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=a+b2\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{a+b}{2}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=(b−a+1)2−112\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3−6((b−a+1)2+1)5((b−a+1)2−1)\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3-\frac{6((b-a+1)^2+1)}{5((b-a+1)^2-1)}

Mediana paramétrica

Median(X)=a+b2\mathrm{Median}(X)=\frac{a+b}{2}

Moda paramétrica

Mode(X)∈[a,b]\mathrm{Mode}(X)\in [a, b]

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
⌈x⌉:Ceiling Function\lceil{x}\rceil: \text{Ceiling Function}