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Distribución Binomial Negativa

Vista rápida

Binomial Negativa cuenta los fracasos antes de observar r éxitos. En la parametrización de Phitter, r es el número objetivo de éxitos y p su probabilidad por ensayo.

Si vienes de otra distribución

Para r=1 se relaciona con Geométrica en la convención de fracasos. Como mezcla Gamma–Poisson produce Binomial Negativa y explica por qué puede modelar varianza mayor que la media.

Historia y terminología

La familia se desarrolló a partir de los ensayos de Pascal y de problemas de conteo. Su uso moderno creció en epidemiología, ecología y seguros como alternativa sobredispersa a Poisson.

Una situación conocida

Es apropiada cuando la tasa de eventos cambia entre unidades o hay heterogeneidad no observada. En ese caso, el parámetro de dispersión puede representar mezcla, no necesariamente dependencia temporal.

Para ajustar con criterio

Aclarar si la variable cuenta fracasos o ensayos totales y si p es éxito o fracaso; ambas convenciones circulan en los paquetes.

Dos relatos para la misma forma

En el relato de Pascal, el experimento se detiene al alcanzar r éxitos y la variable cuenta los fracasos acumulados. En el relato moderno de regresión, un conteo Poisson tiene una tasa que cambia entre unidades según una Gamma. Al integrar esa tasa desconocida aparece también una Binomial Negativa. La primera historia habla de espera; la segunda, de heterogeneidad y sobredispersión.

Estas interpretaciones no autorizan a mezclar parametrizaciones. Algunos textos cuentan éxitos, otros fracasos, y el segundo parámetro puede expresarse como probabilidad, media o dispersión. Antes de comparar resultados hay que verificar soporte y convención. Para datos longitudinales, una varianza mayor que la media puede venir de dependencia temporal y no solo de mezcla Gamma.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los conteos presentan varianza mayor que la media o se cuentan fallos hasta alcanzar un número fijo de éxitos.

Compárala con: Poisson, modelos con inflación de ceros y Beta-binomial según el mecanismo. Verifica la convención de parámetros: distintas bibliotecas intercambian éxitos, fallos y probabilidad.

Referencias

Distribución Binomial Negativa: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼NegativeBinomial(r,p)X\sim\mathrm{NegativeBinomial}\left(r,p\right)

Dominio de distribución

x∈N≡{0,1,2,… }x\in\mathbb{N}\equiv \left\{0,1,2,\dots\right\}

Dominio y restricciones de parámetros

r∈N⩾1,p∈(0,1)⊆Rr\in\mathbb{N}_{\geqslant 1},p\in\left(0,1\right)\subseteq\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=I(p,r,x+1)F_{X}\left(x\right)=I(p,r,x+1)

Función de masa de Probabilidad

fX(x)=(r+x−1x)pr(1−p)xf_{X}\left(x\right)=\binom{r+x-1}{x}p^r(1-p)^x

Función de punto percentil

FX−1(u)=arg⁡min⁡x∣FX(x)−u∣F^{-1}_{X}\left(u\right)=\arg\min_{x}\left| F_{X}\left(x\right)-u \right|

Momentos centrados paramétricos

E[Xk]=μk′=∑x=0∞xkfX(x)E[X^k]=\mu'_{k}=\sum_{x=0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=r(1−p)p\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{r(1-p)}{p}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(μ2′−μ1′2)=r(1−p)p2\mathrm{Variance}(X)=(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})=\frac{r(1-p)}{p^2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2−pr (1−p)\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+6r+p2r (1−p)\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(0.5)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(0.5\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=⌊(r−1) (1−p)/p⌋\mathrm{Mode}(X)=\lfloor(r-1)\,(1-p)/p\rfloor

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. However, it is possible to calculate the Percentile Point Function by approximating it to the nearest integer.
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
⌊x⌋:Floor function\lfloor{x}\rfloor: \text{Floor function}