PLAYGROUND

ECUACIONES DISTRIBUCIÓN NORMAL

Definición de distribución

X∼Normal(μ,σ)X\sim\mathrm{Normal}\left(\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R,σ∈R+\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=12[1+erf⁡(x−μσ2)]=Φ(x−μσ)F_{X}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2=ϕ(x−μσ)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}=\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ+σ2erf⁡−1(2u−1)=μ+σΦ−1(u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu+\sigma\sqrt{2} \operatorname{erf}^{-1}(2u-1)=\mu+\sigma\Phi^{-1}\left(u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=σk⋅(−i2)kU(−k2,12,−12(μσ)2)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\sigma^k\cdot (-i\sqrt 2)^k U\left(-\frac{k}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\left(\frac \mu \sigma\right)^2\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=μ\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\mu

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=σ2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\sigma^{2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=0\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3

Mediana paramétrica

Median(X)=μ\mathrm{Median}(X)=\mu

Moda paramétrica

Mode(X)=μ\mathrm{Mode}(X)=\mu

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
U(a,b,z):Tricomi’s confluent hypergeometric functionU(a,b,z):\text{Tricomi's confluent hypergeometric function}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
ϕ(x):PDF normal standard distribution\phi\left(x\right):\text{PDF normal standard distribution}
erf(x):Error function\mathrm{erf}(x):\text{Error function}
erf−1(x):Inverse of error function\mathrm{erf}^{-1}(x):\text{Inverse of error function}