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Distribución Pareto Segundo Tipo

Perfil

Pareto Segundo Tipo generaliza la ley de Pareto clásica con una forma que puede modelar mejor la masa cercana al mínimo. Mantiene una cola derecha de potencia y es conocida en economía como Lomax cuando el umbral se fija en cero.

Rasgo Lectura
Soporte El soporte parte de loc y es ilimitado hacia la derecha. xm y alpha determinan escala de umbral y cola, respectivamente.
Forma Es la Pareto generalizada de Lomax en una parametrización habitual y una forma cercana a Burr XII. También se conecta con Generalized Pareto para excesos, aunque los parámetros no son automáticamente los mismos.

Origen y terminología

La clasificación de Pareto en tipos se consolidó en compendios de distribuciones; el Tipo II se popularizó en fiabilidad, seguros y economía bajo distintos nombres.

En modelos reales

  • reclamaciones y pérdidas excedentes sobre una franquicia
  • duraciones, tamaños y magnitudes con umbral y cola pesada

Comparaciones

Comprobar si loc representa un mínimo físico, una franquicia o solo una parametrización; esas lecturas generan decisiones distintas.

La cola de Pareto sin un salto en el umbral

La distribución Lomax desplaza la idea de Pareto para que el exceso comience en cero y la densidad sea positiva desde el origen. También se conoce como Pareto de segundo tipo. Lomax la usó en 1954 para datos de fallos empresariales, donde una cola de potencia convivía con abundantes observaciones pequeñas.

Puede construirse mezclando una Exponencial con una tasa Gamma, una historia que interpreta la cola como heterogeneidad entre unidades. Esa mezcla la acerca a modelos de supervivencia y riesgo. Frente a Pareto I, no exige que la densidad empiece abruptamente en un mínimo positivo. Los nombres cambian entre textos y algunas parametrizaciones incorporan localización; verificar soporte y definición es esencial antes de comparar índices de cola.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se modela el exceso positivo sobre un origen y se espera una cola de potencia sin mínimo multiplicativo separado.

Compárala con: Pareto I, Generalized Pareto y Loglogistic. Aclara si los datos son niveles absolutos o excesos, porque esa decisión cambia el significado de la escala.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.lomax — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Lomax, K. S. (1954). Business failures: Another example of the analysis of failure data. Journal of the American Statistical Association, 49(268), 847–852.
  • Clauset, A., Shalizi, C. R. & Newman, M. E. J. (2009). Power-law distributions in empirical data. SIAM Review, 51(4), 661–703.

Distribución Pareto Segundo Tipo: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼ParetoSecondKind(xm,α,Loc)X\sim\mathrm{ParetoSecondKind}\left(x_\mathrm{m},\alpha,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

xm∈R+,α∈R+,Loc∈Rx_\mathrm{m}\in\mathbb{R}^{+},\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−[1+x−Locxm]−αF_{X}\left(x\right)=1-\left[{1+\frac{x-\text{Loc}}{x_\mathrm{m}}}\right]^{-\alpha}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=αxm[1+x−Locxm]−(α+1)f_{X}\left(x\right)=\frac{\alpha}{x_\mathrm{m}} \left[{1+\frac{x-\text{Loc}}{x_\mathrm{m}}}\right]^{-(\alpha+1)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+xm[(1−p)−1α−1]F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+x_\mathrm{m} \left[\left(1-p\right)^{-\frac{1}{\alpha}} -1\right]

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=xmkΓ(α−k)Γ(1+k)Γ(α)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{x_\mathrm{m}^k \Gamma(\alpha-k)\Gamma(1+k)}{\Gamma(\alpha)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ~1′=xmα−1if α>1\mathrm{Mean}(X)=\tilde{\mu}'_{1}=\frac{x_\mathrm{m}}{{\alpha -1}} \quad \text{if }\alpha>1

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2=xm2α(α−1)2(α−2)if α>2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}=\frac{x_\mathrm{m}^2 \alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)} \quad \text{if }\alpha>2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=2(1+α)α−3 α−2αif α>3\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}} \quad \text{if }\alpha>3

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=6(α3+α2−6α−2)α(α−3)(α−4)if α>4\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)} \quad \text{if }\alpha>4

Mediana paramétrica

Median(X)=xm(2α−1)\mathrm{Median}(X)=x_\mathrm{m}\left(\sqrt[\alpha]{2}-1\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=0\mathrm{Mode}(X)=0

Información y definiciones adicionales

X∼ParetoSecondKind(xm,α,0)X\sim\mathrm{ParetoSecondKind}\left(x_\mathrm{m},\alpha,0\right)
xm:Scale parameterx_\mathrm{m}:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}