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Distribución Erlang 3P

Vista rápida

Erlang 3P añade un tiempo de localización al modelo de espera Erlang. Representa varias etapas aleatorias que comienzan después de una demora fija o de un tiempo mínimo conocido.

Si vienes de otra distribución

Se reduce a Erlang de dos parámetros al tomar loc=0. También es una Gamma de forma entera desplazada, pero no debe confundirse con una Gamma no central: el retraso se suma después del tiempo de espera.

Historia y terminología

La etiqueta 3P pertenece a la parametrización de software. La motivación original continúa siendo el tráfico telefónico estudiado por Erlang, aunque hoy el modelo aparece en fiabilidad y colas.

Una situación conocida

En un sistema de servicio, loc puede representar configuración, calentamiento o transporte inevitable antes de las fases estocásticas. La interpretación es fuerte: si no existe una demora física, la flexibilidad del parámetro puede ser innecesaria.

Para ajustar con criterio

La localización queda cerca del mínimo de los datos y puede ser difícil de estimar con pocas observaciones; validar contra una Erlang sin desplazar.

La cola empieza después del tiempo fijo

Erlang 3P separa dos partes de una duración: una demora fija loc y una suma aleatoria de k etapas. Un proceso de atención podría exigir primero un registro de duración casi constante y después varias fases con tiempos exponenciales.

La separación tiene que existir en el mecanismo o estar apoyada por el diseño del experimento. Si la fase inicial también varía, tratarla como constante desplaza esa variación hacia los demás parámetros. Además, loc no vuelve más compleja la cadena Markoviana de etapas; solo mueve su origen. Para interpretar k como número de fases, sigue siendo necesario que sea entero y que las tasas de las fases sean comparables.

Guía de elección

Buena candidata cuando: las etapas Erlang comienzan después de un retardo fijo o tiempo mínimo físicamente identificable.

Compárala con: Erlang sin desplazamiento y Gamma 3P. Separa el retraso determinista de las etapas aleatorias; estimarlos juntos con pocos datos puede confundir ambos efectos.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.erlang — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Erlang, A. K. (1909). The theory of probabilities and telephone conversations. Nyt Tidsskrift for Matematik B, 20, 33–39.
  • Evans, M., Hastings, N. & Peacock, B. (2000). Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley.

Distribución Erlang 3P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Erlang3P(k,β,Loc)X\sim\mathrm{Erlang_{3P}}\left(k,\beta,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in\left[\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

k∈N+,β∈R+,Loc∈Rk\in\mathbb{N}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(k,x−Locβ)=γ(k,x−Locβ)(k−1)!F_{X}\left(x\right)=\text{P}(k,\frac{x-\text{Loc}}{\beta})=\frac{\gamma(k,\frac{x-\text{Loc}}{\beta})}{(k-1)!}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=(x−Loc)k−1e−x−Locββk(k−1)!f_{X}\left(x\right)=\frac{(x-\text{Loc})^{k-1} e^{-\frac{x-\text{Loc}}{\beta}}}{\beta^k(k-1)!}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+βP−1(k,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\beta \text{P}^{-1}\left(k,u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μ~n′=E[X~n]=∫0∞xnfX~(x)dx=βnΓ(n+k)Γ(k)\tilde{\mu}'_{n}=E[\tilde{X}^n]=\int_{0}^{\infty}x^{n}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\beta^{n}\frac{\Gamma\left(n+k\right)}{\Gamma(k)}

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+P(k,12β)\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{P}(k,\frac{1}{2\beta})

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+β⋅(k−1)\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\beta\cdot\left(k-1\right)

Información y definiciones adicionales

X~∼Erlang(k,β)\tilde{X}\sim\mathrm{Erlang}\left(k,\beta\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}