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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN WEIBULL

Definición de distribución

X∼Weibull(α,β)X\sim\mathrm{Weibull}\left(\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−e−(x/β)αF_{X}\left(x\right)=1-e^{-(x/\beta)^\alpha}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=αβ(xβ)α−1e−(x/β)αf_{X}\left(x\right)=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(x/\beta)^\alpha}

Función de punto percentil

FX−1(u)=β(−ln⁡(1−u))1/αF^{-1}_{X}\left(u\right)=\beta(-\ln(1-u))^{1/\alpha}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=βαΓ(1+kα)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\beta^\alpha \Gamma\left(1+\frac{k}{\alpha}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=β⋅Γ(1+1/α)\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\beta\cdot\Gamma(1+1/\alpha)

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=β2[Γ(1+2/α)−(Γ(1+1/α))2]\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\beta^2\left[\Gamma\left(1+2/\alpha\right)-\left(\Gamma\left(1+1/\alpha\right)\right)^2\right]

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=β(ln⁡(2))1/α\mathrm{Median}(X)=\beta(\ln(2))^{1/\alpha}

Moda paramétrica

Mode(X)={β(α−1α)1/αif α>10if α≤1\mathrm{Mode}(X)=\left\{\begin{array}{cl} \beta\left(\frac{\alpha-1}{\alpha}\right)^{1/\alpha} & \text{if }\alpha>1\\ 0 & \text{if } \alpha\leq 1 \end{array} \right.

Información y definiciones adicionales

β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}