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Distribución Weibull

Qué describe

Weibull es una de las familias principales para tiempos de vida y resistencia. Su parámetro de forma permite que el riesgo de fallo disminuya, sea constante o aumente con la edad.

La variable es positiva. alpha controla forma y beta escala en la convención de Phitter; confirmar si otro texto intercambia esos papeles.

Historia y nombres

Waloddi Weibull presentó en 1951 una función de amplia aplicabilidad y mostró su uso en resistencia de materiales. La familia se consolidó en confiabilidad por su función de riesgo flexible.

Relación con otras distribuciones

Con forma 1 se reduce a Exponential; con forma 2 se conecta con Rayleigh y con transformaciones de Gamma. También es el régimen de extremo tipo III dentro de GEV cuando se estudian máximos con límite superior finito.

Dónde aparece

  • fiabilidad de componentes, materiales y máquinas
  • resistencia a la rotura, supervivencia y análisis de garantía

Precauciones al ajustar

Un parámetro de forma estable en un grupo no implica el mismo mecanismo en otro; comparar funciones de riesgo y censura antes de comparar solo escalas.

Tres edades posibles para una máquina

El parámetro de forma convierte Weibull en tres relatos de envejecimiento. Por debajo de uno, el riesgo disminuye y puede representar una población que pierde sus unidades frágiles al principio. En uno, recupera la tasa constante Exponencial. Por encima de uno, el riesgo crece con desgaste o acumulación de daño.

Waloddi Weibull defendió en 1951 la amplia aplicabilidad de la función, pero su utilidad también proviene del modelo de eslabón más débil para resistencia de materiales. Un gráfico de Weibull vuelve aproximadamente recta la relación adecuada cuando la familia encaja. Curvatura sistemática puede señalar mezclas, varios modos de fallo o un umbral omitido. Censurar piezas que aún funcionan no es un inconveniente menor: forma parte de la verosimilitud del experimento.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se modelan vidas positivas con riesgo monotónico: decreciente, constante o creciente según la forma.

Compárala con: Exponential como caso de riesgo constante, y Gamma o Lognormal para otras dinámicas. Incorpora censura y revisa el riesgo, no solo el histograma de fallos observados.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.weibull_min — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Weibull, W. (1951). A statistical distribution function of wide applicability. Journal of Applied Mechanics, 18, 293–297.
  • Lawless, J. F. (2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data, 2nd ed. Wiley.

Distribución Weibull: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Weibull(α,β)X\sim\mathrm{Weibull}\left(\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−e−(x/β)αF_{X}\left(x\right)=1-e^{-(x/\beta)^\alpha}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=αβ(xβ)α−1e−(x/β)αf_{X}\left(x\right)=\frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(x/\beta)^\alpha}

Función de punto percentil

FX−1(u)=β(−ln⁡(1−u))1/αF^{-1}_{X}\left(u\right)=\beta(-\ln(1-u))^{1/\alpha}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=βαΓ(1+kα)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\beta^\alpha \Gamma\left(1+\frac{k}{\alpha}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=β⋅Γ(1+1/α)\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\beta\cdot\Gamma(1+1/\alpha)

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=β2[Γ(1+2/α)−(Γ(1+1/α))2]\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\beta^2\left[\Gamma\left(1+2/\alpha\right)-\left(\Gamma\left(1+1/\alpha\right)\right)^2\right]

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=β(ln⁡(2))1/α\mathrm{Median}(X)=\beta(\ln(2))^{1/\alpha}

Moda paramétrica

Mode(X)={β(α−1α)1/αif α>10if α≤1\mathrm{Mode}(X)=\left\{\begin{array}{cl} \beta\left(\frac{\alpha-1}{\alpha}\right)^{1/\alpha} & \text{if }\alpha>1\\ 0 & \text{if } \alpha\leq 1 \end{array} \right.

Información y definiciones adicionales

β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}