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Distribución Chi Cuadrado 3P

Retrato

Chi Square 3P es la versión desplazada y reescalada de la chi-cuadrado. Mantiene la interpretación de una suma de cuadrados en la forma estandarizada, pero permite que la variable observada tenga otro origen y otra unidad.

Huellas históricas

El sufijo 3P es una convención de parametrización común en software y fiabilidad. La historia matemática es la de la chi-cuadrado de Pearson, no la de una nueva distribución independiente.

Dos conexiones útiles

  • Se reduce a chi-cuadrado estándar al fijar localización cero y escala uno. Por ser una Gamma transformada, también mantiene relaciones con Gamma, Erlang y F, pero las interpretaciones de sus parámetros cambian con la escala.
  • La distinción entre “desplazada” y “no central” es conceptual: una cambia el eje después de generar la variable; la otra cambia el mecanismo que genera los cuadrados.

Caso de uso

Puede ser útil como familia descriptiva cuando el origen físico no coincide con cero. En inferencia clásica sobre una varianza, sin embargo, el desplazamiento suele destruir la interpretación exacta del estadístico y no debe añadirse sin motivo.

Consejo de diagnóstico

Un buen ajuste con loc libre puede ocultar que los datos no son realmente una suma de cuadrados; comparar contra Gamma y Weibull ayuda a diagnosticarlo.

Una suma de cuadrados después de cambiar regla y origen

Chi Square 3P toma una Chi Cuadrado estándar, la multiplica por una escala y suma una localización. La silueta positiva y asimétrica permanece, pero sus valores ya no son literalmente la suma de normales estándar al cuadrado.

La distinción evita una confusión frecuente. Desplazar la variable cambia el eje después de generar los cuadrados; una Chi Cuadrado No Central cambia las medias de las normales antes de elevarlas. Solo la segunda describe un estadístico bajo una alternativa. La forma 3P puede modelar mediciones sesgadas con umbral y unidad propios, pero sus grados de libertad actúan como parámetro de forma fenomenológico si localización o escala se apartan de la construcción clásica.

Guía de elección

Buena candidata cuando: una suma de cuadrados aparece después de descontar un origen o nivel basal conocido y no necesariamente cero.

Compárala con: Chi-square estándar antes de estimar el desplazamiento. Si loc carece de significado, una Gamma 3P puede describir la forma sin fingir grados de libertad teóricos.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.chi2 — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine, 50, 157–175.

Distribución Chi Cuadrado 3P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼χ3P2(df,Loc,Sc)X\sim\mathrm{\chi^{2}_{3P}}\left(\text{df},\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

df∈N+,Loc∈R,Sc∈R+\text{df}\in\mathbb{N}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=γ(df2, z(x)2)Γ(df2)=P(df2, z(x)2)F_{X}\left(x\right)=\frac{\gamma(\frac{\text{df}}{2},\,\frac{z(x)}{2})}{\Gamma(\frac{\text{df}}{2})}=\text{P}\left(\frac{\text{df}}{2},\,\frac{z(x)}{2}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Sc12df/2Γ(df/2) xdf/2−1e−z(x)/2f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\text{Sc}}\frac{1}{2^{\text{df}/2}\Gamma(\text{df}/2)}\,x^{\text{df}/2-1} e^{-z(x)/2}

Función de punto percentil

FX−1(u)=2P−1(df2,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=2\text{P}^{-1}\left(\frac{\text{df}}{2},u\right)

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=df(df+2)⋯(df+2k−2)=2kΓ(k+df2)Γ(df2)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\text{df}(\text{df}+2)\cdots(\text{df}+2k-2)=2^k\frac{\Gamma\left(k+\frac{\text{df}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\text{df}}{2}\right)}

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Sc⋅μ~1′=Loc+Sc⋅df\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot \text{df}

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2⋅(μ~2′−μ~1′2)=2⋅df⋅Sc2\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=2\cdot \text{df}\cdot \text{Sc}^{2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=8df\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\sqrt{\frac{8}{\text{df}}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=3+12df\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{12}{\text{df}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Sc×2P−1(df2,12)\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\times 2\text{P}^{-1}\left(\frac{\text{df}}{2},\frac{1}{2}\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+Sc×max(df−2,0)\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\times \text{max}(\text{df}-2,0)

Información y definiciones adicionales

X~∼χ2(df)\tilde{X}\sim\mathrm{\chi^{2}}\left(\text{df}\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}