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Distribución T Student 3P

Retrato

T Student 3P desplaza y reescala la t de Student. Puede usarse como una familia de errores con colas pesadas y centro calibrado, pero la interpretación inferencial clásica solo pertenece a la t sin transformar.

Huellas históricas

La extensión 3P es una convención de modelado posterior al trabajo de Gosset. Se usa en bibliotecas para separar forma, ubicación y unidad.

Dos conexiones útiles

  • Con loc=0 y scale=1 se recupera la t estándar. La relación con F se mantiene en la forma estandarizada, y la t no central es una modificación diferente del mecanismo.
  • Para df ≤ 1 la media no existe y para df ≤ 2 la varianza no existe en la versión estandarizada; localización y escala no cambian esa condición.

Caso de uso

Es una opción descriptiva para observaciones reales con colas más pesadas que normal. Si se usa para un estadístico t, documentar la transformación y no reportarla como t estándar.

Consejo de diagnóstico

No leer loc como la media si el momento no existe, ni usar la escala como desviación estándar sin comprobar df.

Colas t para errores, sin una prueba t escondida

Student t 3P usa la forma de colas pesadas como una familia de localización y escala. loc fija el centro, scale las unidades y los grados de libertad el grosor de las colas. Es una elección habitual para errores robustos.

En esta función, los grados no tienen que proceder de n-1 ni de una varianza muestral. Son un parámetro de forma estimado. Por eso los cuantiles no deben leerse como valores críticos de una prueba t clásica sin reconstruir su estadístico. Cuando los grados crecen, la familia se acerca a una Normal con la misma localización y escala. Con pocos grados, media o varianza pueden no existir aunque el centro y la mediana sigan definidos.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se necesita una t simétrica de colas pesadas con centro y escala estimados en las unidades originales.

Compárala con: Normal y Generalized Normal con los mismos parámetros de ubicación y escala. Comprueba que los grados de libertad no queden determinados por uno o dos outliers.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.t — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Student (W. S. Gosset) (1908). The probable error of a mean. Biometrika, 6(1), 1–25.
  • Evans, M., Hastings, N. & Peacock, B. (2000). Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley.

Distribución T Student 3P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼TStudent3P(df,Loc,Sc)X\sim\mathrm{TStudent_{3P}}\left(\text{df},\text{Loc},\text{Sc}\right)\\

Dominio de distribución

x∈(−∞,∞)x\in\left(-\infty,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

df∈R+,Loc∈R,Sc∈R+\text{df}\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}\\

Función de distribución acumulada

FX(x)=I(z(x)+z(x)2+df2z(x)2+df,df2,df2)F_{X}\left(x\right)=I\left(\frac{z(x)+\sqrt{z(x)^{2}+\text{df}}}{2\sqrt{z(x)^{2}+\text{df}}},\frac{\text{df}}{2},\frac{\text{df}}{2}\right)\\

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=(1+z(x)2/df)−(1+df)/2df×Beta(12,df2)f_{X}\left(x\right)=\frac{\left(1+z(x)^{2}/\text{df}\right)^{-(1+\text{df})/2}}{\sqrt{\text{df}}\times \text{Beta}\left(\frac{1}{2},\frac{\text{df}}{2}\right)}\\

Función de punto percentil

FX−1(u)={Loc+Sc df(1−I−1(u,df/2,df/2))I−1(u,df/2,df/2)if  u≥12Loc−Sc df(1−I−1(u,df/2,df/2))I−1(u,df/2,df/2)if  u<12F^{-1}_{X}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cl} \text{Loc}+\text{Sc} \ \sqrt{\frac{\text{df}(1-I^{-1}\left(u,\text{df}/2,\text{df}/2\right))}{I^{-1}\left(u,\text{df}/2,\text{df}/2\right)}} & \text{if } \ u \geq \frac{1}{2} \\ \text{Loc}-\text{Sc} \ \sqrt{\frac{\text{df}(1-I^{-1}\left(u,\text{df}/2,\text{df}/2\right))}{I^{-1}\left(u,\text{df}/2,\text{df}/2\right)}} & \text{if } \ u < \frac{1}{2} \end{array} \right.\\

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx={0if  k odd ∧ 0<k<dfdfk2 ∏i=1k/22i−1df−2iif  k even ∧ 0<k<df\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{if } \ k\text{ odd} \ \wedge \ 0 < k < \text{df} \\ \text{df}^{\frac{k}{2}} \,\prod_{i=1}^{k/2}\frac{2i-1}{\text{df}-2i} & \text{if } \ k\text{ even} \ \wedge \ 0 < k < \text{df} \end{array} \right.\\

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Sc⋅μ~1′=Loc\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}\\

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2×(μ~2′−μ~1′2)={Sc2 df/(df+2)if  df>2undefinedif  df≤2\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}\times (\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\left\{\begin{array}{cl} \text{Sc}^{2} \ \text{df}/(\text{df}+2) & \text{if } \ \text{df} > 2 \\ \text{undefined} & \text{if } \ \text{df} \leq 2 \end{array} \right.\\

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5={0if  df>3undefinedif  df≤3\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\left\{\begin{array}{cl} 0 & \text{if } \ \text{df} > 3 \\ \text{undefined} & \text{if } \ \text{df} \leq 3 \end{array} \right.\\

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2={3+6/(df−4)if  df>4undefinedif  df≤4\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=\left\{\begin{array}{cl} 3+6/(\text{df}-4) & \text{if } \ \text{df} > 4 \\ \text{undefined} & \text{if } \ \text{df} \leq 4 \end{array} \right.\\

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}\\

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}

Información y definiciones adicionales

X~∼TStudent(df)\tilde{X}\sim\mathrm{TStudent}\left(\text{df}\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
I−1(x,a,b):Inverse of regularized incomplete beta functionI^{-1}\left(x,a,b\right):\text{Inverse of regularized incomplete beta function}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}