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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR

Definición de distribución

X∼Triangular(a,b,c)X\sim\mathrm{Triangular}\left(a,b,c\right)

Dominio de distribución

x∈[a,b]x\in\left[a,b\right]

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R,b∈R,c∈R,a<c<ba\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R},c\in\mathbb{R},a < c < b

Función de distribución acumulada

FX(x)={(x−a)2(b−a)(c−a)if  a<x≤c1−(b−x)2(b−a)(b−c)if  c<x<bF_{X}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \text{if } \ a < x \leq c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \text{if } \ c < x < b \\ \end{array} \right.

Función de densidad de probabilidad

fX(x)={2(x−a)(b−a)(c−a)if  a≤x<c,2(b−x)(b−a)(b−c)if  c≤x≤b,f_{X}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{if } \ a \leq x < c,\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{if } \ c \leq x \leq b,\\ \end{array} \right.

Función de punto percentil

FX−1(u)={a+U(b−a)(c−a)if  0<U<c−ab−ab−(1−U)(b−a)(b−c)if  c−ab−a≤U<1F^{-1}_{X}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cl} a+\sqrt{U(b-a)(c-a)} & \text{if } \ 0 < U < \frac{c-a}{b-a} \\ b-\sqrt{(1-U)(b-a)(b-c)} & \text{if } \ \frac{c-a}{b-a} \leq U < 1 \end{array} \right.

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫abxkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{a}^{b}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=a+b+c3\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{a+b+c}{3}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=a2+b2+c2−ab−ac−bc18\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2(a ⁣+ ⁣b ⁣− ⁣2c)(2a ⁣− ⁣b ⁣− ⁣c)(a ⁣− ⁣2b ⁣+ ⁣c)5(a2 ⁣+ ⁣b2 ⁣+ ⁣c2 ⁣− ⁣ab ⁣− ⁣ac ⁣− ⁣bc)32\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3−35\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3-\frac{3}{5}

Mediana paramétrica

Median(X)={a+(b−a)(c−a)2if c≥a+b2b−(b−a)(b−c)2if c≤a+b2\mathrm{Median}(X)=\left\{\begin{array}{cl} a+\sqrt{\frac{(b-a)(c-a)}{2}} & \text{if } c \ge\frac{a+b}{2} \\ b-\sqrt{\frac{(b-a)(b-c)}{2}} & \text{if } c \le\frac{a+b}{2} \end{array} \right.

Moda paramétrica

Mode(X)∈[b,c]\mathrm{Mode}(X)\in [b,c]

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}