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Distribución Triangular

La idea en una frase

Triangular representa incertidumbre con un mínimo a, un valor más probable b y un máximo c. Su densidad está formada por dos rectas y es fácil de explicar a personas que no necesitan estimar muchos parámetros.

Soporte e interpretación

El soporte es [a,c]; b es la moda. Si b está en el centro, la distribución es simétrica; moverlo produce sesgo hacia uno de los límites.

Un lugar dentro de la familia

PERT sustituye las rectas por una forma Beta suave. Es un caso límite de la trapezoidal y se relaciona con Beta cuando los exponentes generan pendientes lineales.

Una lectura aplicada

Es una buena herramienta de primera aproximación cuando se conocen límites y una moda, pero no datos suficientes para una estimación paramétrica. En un proyecto, la suma de muchas actividades triangulares puede adquirir una forma casi normal.

Los límites suelen ser subjetivos y los tres puntos no incluyen dependencia entre actividades; documentar ambos supuestos.

La distribución que dibuja exactamente lo que se declara

Mínimo, modo y máximo determinan dos rectas. No hay cola oculta más allá de los límites ni una curvatura adicional que estimar. Esa transparencia explica su popularidad en simulación cuando solo existe juicio experto.

El caso simétrico tiene una construcción interesante: el promedio de dos Uniformes independientes produce una Bates con n=2, que es Triangular. La diferencia de dos Uniformes iguales también genera una forma triangular centrada. Estas historias no justifican automáticamente una moda subjetiva, pero aclaran dónde aparece de manera mecánica. Frente a PERT, Triangular asigna relativamente más masa cerca de los límites. Esa elección puede cambiar el riesgo agregado aunque las tres estimaciones coincidan.

Guía de elección

Buena candidata cuando: hay información limitada pero se pueden defender un mínimo, una moda y un máximo finitos.

Compárala con: PERT para una forma más suave y Beta cuando existen datos. Incluye análisis de sensibilidad: los tres puntos suelen ser juicios, no límites conocidos con certeza.

Referencias

Distribución Triangular: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Triangular(a,b,c)X\sim\mathrm{Triangular}\left(a,b,c\right)

Dominio de distribución

x∈[a,b]x\in\left[a,b\right]

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R,b∈R,c∈R,a<c<ba\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R},c\in\mathbb{R},a < c < b

Función de distribución acumulada

FX(x)={(x−a)2(b−a)(c−a)if  a<x≤c1−(b−x)2(b−a)(b−c)if  c<x<bF_{X}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} & \text{if } \ a < x \leq c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} & \text{if } \ c < x < b \\ \end{array} \right.

Función de densidad de probabilidad

fX(x)={2(x−a)(b−a)(c−a)if  a≤x<c,2(b−x)(b−a)(b−c)if  c≤x≤b,f_{X}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{if } \ a \leq x < c,\\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \text{if } \ c \leq x \leq b,\\ \end{array} \right.

Función de punto percentil

FX−1(u)={a+U(b−a)(c−a)if  0<U<c−ab−ab−(1−U)(b−a)(b−c)if  c−ab−a≤U<1F^{-1}_{X}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cl} a+\sqrt{U(b-a)(c-a)} & \text{if } \ 0 < U < \frac{c-a}{b-a} \\ b-\sqrt{(1-U)(b-a)(b-c)} & \text{if } \ \frac{c-a}{b-a} \leq U < 1 \end{array} \right.

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫abxkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{a}^{b}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=a+b+c3\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{a+b+c}{3}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=a2+b2+c2−ab−ac−bc18\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=2(a ⁣+ ⁣b ⁣− ⁣2c)(2a ⁣− ⁣b ⁣− ⁣c)(a ⁣− ⁣2b ⁣+ ⁣c)5(a2 ⁣+ ⁣b2 ⁣+ ⁣c2 ⁣− ⁣ab ⁣− ⁣ac ⁣− ⁣bc)32\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3−35\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3-\frac{3}{5}

Mediana paramétrica

Median(X)={a+(b−a)(c−a)2if c≥a+b2b−(b−a)(b−c)2if c≤a+b2\mathrm{Median}(X)=\left\{\begin{array}{cl} a+\sqrt{\frac{(b-a)(c-a)}{2}} & \text{if } c \ge\frac{a+b}{2} \\ b-\sqrt{\frac{(b-a)(b-c)}{2}} & \text{if } c \le\frac{a+b}{2} \end{array} \right.

Moda paramétrica

Mode(X)∈[b,c]\mathrm{Mode}(X)\in [b,c]

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}