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Distribución Bates

De un fenómeno a un modelo

La distribución lleva el nombre de Grace E. Bates y está estrechamente relacionada con Irwin–Hall, que describe la suma y no el promedio de variables Uniformes. La distinción de escala evita confundir ambas familias.

Lo que conviene mirar

El soporte sigue siendo [min,max], pero su anchura efectiva disminuye como 1/√n. Para n=1 se obtiene la uniforme; para valores grandes, el teorema central del límite explica la forma casi gaussiana.

Caso Lectura
n = 1 uniforme en el intervalo
n creciente más concentración en el centro
n → ∞ aproximación normal tras estandarizar

Nombres que también encontrarás

También aparece como Bates distribution; la versión de la suma es Irwin–Hall. Ambas tienen densidades polinomiales por tramos, aunque sus escalas y medias no coinciden.

Cuándo tiene sentido

Puede representar un promedio de contribuciones independientes acotadas, por ejemplo un tiempo compuesto por muchas pequeñas perturbaciones uniformes. No es la primera elección si los sumandos tienen colas, dependencia o una variabilidad muy desigual.

Qué no debe suponerse

El parámetro n debe ser un entero positivo. Usar un número fraccionario puede producir una forma visual plausible, pero ya no corresponde a este mecanismo de promedio.

Grace Bates y el promedio de varios azares uniformes

La distribución honra a la matemática estadounidense Grace E. Bates. Se obtiene al promediar n variables Uniformes independientes. La suma, antes de dividir entre n, sigue Irwin Hall. Con n=1 vuelve a ser Uniforme y con n=2 produce una Triangular simétrica.

A medida que crece n, el teorema central del límite redondea la curva y reduce su varianza, pero el soporte permanece acotado. Esa combinación permite simular un promedio de perturbaciones pequeñas que nunca abandona límites conocidos. No resulta adecuada si n es solo un parámetro de suavidad: su significado natural es un número entero de contribuciones independientes con la misma escala.

Guía de elección

Buena candidata cuando: la observación es el promedio de un número fijo de aportes uniformes independientes con los mismos límites.

Compárala con: Triangular, Irwin–Hall y Normal. Bates modela un promedio, mientras Irwin–Hall modela la suma; una campana aproximada no demuestra que los aportes sean uniformes.

Referencias

  • Referencia de Wolfram Language: BatesDistribution — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd ed. Wiley.
  • Irwin, J. O. (1955). A unified derivation of some well-known frequency distributions of interest in biometry and statistics. Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 118(4), 389–396.

Distribución Bates: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Bates(n,min,max)X\sim\mathrm{Bates}\left(n,\text{min},\text{max}\right)

Dominio de distribución

x∈(min,max)x\in\left(\text{min},\text{max}\right)

Dominio y restricciones de parámetros

n∈N+,min∈R,max∈Rn\in\mathbb{N}^{+},\text{min}\in\mathbb{R},\text{max}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1n!∑k=0⌊y⌋(−1)k(nk)(y−k)nF_{X}\left(x\right)=\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{\lfloor y\rfloor}\left(-1\right)^{k}\binom{n}{k}\left(y-k\right)^{n}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=n(max−min)(n−1)!∑k=0⌊y⌋(−1)k(nk)(y−k)n−1f_{X}\left(x\right)=\frac{n}{\left(\text{max}-\text{min}\right)(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor y\rfloor}\left(-1\right)^{k}\binom{n}{k}\left(y-k\right)^{n-1}

Función de punto percentil

FX−1(u)=numerical inversion of FXF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{numerical inversion of }F_{X}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k=E[(Y−12)k]\tilde{\mu}_{k}=E\left[\left(Y-\tfrac{1}{2}\right)^{k}\right]

Media paramétrica

Mean(X)=min+max2\mathrm{Mean}(X)=\frac{\text{min}+\text{max}}{2}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(max−min)212n\mathrm{Variance}(X)=\frac{\left(\text{max}-\text{min}\right)^{2}}{12n}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=0\mathrm{Skewness}(X)=0

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=3−65n\mathrm{Kurtosis}(X)=3-\frac{6}{5n}

Mediana paramétrica

Median(X)=min+max2\mathrm{Median}(X)=\frac{\text{min}+\text{max}}{2}

Moda paramétrica

Mode(X)=min+max2\mathrm{Mode}(X)=\frac{\text{min}+\text{max}}{2}

Información y definiciones adicionales

Computing an analytic expression for the inverse of the cumulative distribution function is not feasible. Nonetheless, it is possible to generate a random sample from the distribution.
X=min+(max−min)⋅1n∑i=1nUiX=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}U_{i}
y=n⋅(x−min)/(max−min)y=n\cdot\left(x-\text{min}\right)/\left(\text{max}-\text{min}\right)
n:Number of averaged uniforms (Irwin-Hall order)n:\text{Number of averaged uniforms (Irwin-Hall order)}
min:Lower bound of the support\text{min}:\text{Lower bound of the support}
max:Upper bound of the support\text{max}:\text{Upper bound of the support}
(nk):Binomial coefficient\binom{n}{k}:\text{Binomial coefficient}
Ui:Uniform[0,1] random varibleU_{i}:\text{Uniform[0,1] random varible}