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Distribución Valor Extremo Generalizado

Vista rápida

La distribución de Valor Extremo Generalizado, abreviada GEV, reúne en una sola familia los límites posibles de máximos o mínimos por bloques. Su parámetro xi decide si la cola es de tipo Gumbel, Frechet o Weibull.

Si vienes de otra distribución

xi=0 produce la forma Gumbel como límite; xi>0 corresponde a Frechet y xi<0 a Weibull de extremos. La Generalized Pareto modela excesos sobre umbral y es la compañera natural de GEV en teoría de extremos.

Historia y terminología

Fisher y Tippett clasificaron en 1928 las formas límite de extremos; Gnedenko completó la formulación de dominios de atracción. La GEV es la síntesis moderna de esas tres clases.

Una situación conocida

La GEV responde a preguntas de máximo por bloque: “¿cuál es el máximo anual?”. Elegir el tamaño del bloque cambia la escala del problema; usarla sobre observaciones ordinarias sin esa agregación puede perder información.

Para ajustar con criterio

La extrapolación de periodos de retorno depende de dependencia temporal, estacionariedad y elección de bloques; un p-valor de ajuste no valida esas hipótesis.

Tres destinos posibles para una sucesión de máximos

Fisher y Tippett demostraron que los máximos normalizados solo pueden desembocar en tres tipos límite. GEV los reúne mediante xi: Gumbel cuando vale cero, Fréchet para una cola superior pesada y Weibull de máximos para una población con límite superior finito.

El signo de xi cambia entre algunas convenciones de software, de modo que siempre debe revisarse la fórmula. En un análisis por bloques, el tamaño del bloque negocia sesgo contra cantidad de datos: bloques pequeños pueden no ser todavía extremos y bloques grandes dejan pocas observaciones. Los niveles de retorno extrapolan más allá de la muestra y su intervalo suele ser asimétrico. Reportar solo la curva central oculta precisamente la incertidumbre que más importa.

Guía de elección

Buena candidata cuando: cada dato es un máximo o mínimo por bloque y se necesita que los datos determinen si la cola es acotada, ligera o pesada.

Compárala con: Gumbel como submodelo y Generalized Pareto para excedencias. Repite el ajuste con distintos tamaños de bloque: los niveles de retorno son sensibles a esa decisión.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.genextreme — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Fisher, R. A. & Tippett, L. H. C. (1928). Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 24, 180–190.
  • Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer.

Distribución Valor Extremo Generalizado: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼GeneralizedExtremeValue(ξ,μ,σ)X\sim\mathrm{GeneralizedExtremeValue}\left(\xi,\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

if ξ>0: x∈(z(x),∞),if ξ=0: x∈(−∞,∞),if ξ<0: x∈(−∞,z(x))\text{if }\xi>0:\ x\in\left(z(x),\infty\right),\quad \text{if }\xi=0:\ x\in\left(-\infty,\infty\right),\quad \text{if }\xi<0:\ x\in\left(-\infty,z(x)\right)

Dominio y restricciones de parámetros

ξ∈R,μ∈R,σ∈R+\xi\in\mathbb{R},\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)={exp⁡(−exp⁡(−z(x)))if  ξ=0exp⁡(−(1+ξz(x))−1/ξ)if  ξ≠0F_{X}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cl} \exp\Bigl(-\exp(-z(x))\Bigr) & \text{if } ~ \xi=0 \\ \exp\Bigl(-(1+\xi z(x))^{-1/\xi}\Bigr) & \text{if } ~ \xi \neq 0\end{array} \right.

Función de densidad de probabilidad

fX(x)={1σexp⁡(−z(x))exp⁡(−exp⁡(−z(x)))if  ξ=01σ(1+ξz(x))−(1+1/ξ)exp⁡(−(1+ξz(x))−1/ξ)if  ξ≠0f_{X}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\sigma}\exp(-z(x)) \exp\Bigl(-\exp(-z(x))\Bigr) & \text{if } ~ \xi=0 \\ \frac{1}{\sigma}\Bigl(1+\xi z(x)\Bigr)^{-(1+1/\xi)} \exp\Bigl(-(1+\xi z(x))^{-1/\xi}\Bigr) & \text{if } ~ \xi \neq 0\end{array} \right.

Función de punto percentil

FX−1(u)={μ−σln⁡(−ln⁡(u))if  ξ=0μ+σξ((−ln⁡(u) )−ξ−1)if  ξ≠0F^{-1}_{X}\left(u\right)=\left\{\begin{array}{cl} \mu-\sigma\ln\left(-\ln\left(u\right)\right) & \text{if } ~ \xi=0 \\ \mu+\frac{}{}\frac{\sigma}{\xi}\left(\left(-\ln(u)\,\right)^{-\xi}-1\right) & \text{if } ~ \xi \neq 0\\ \end{array} \right.

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx=Γ(1−kξ)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\Gamma(1-k\xi)

Media paramétrica

Mean(X)={μ+σ(μ1′−1)/ξif ξ≠0,ξ<1μ+σ γif ξ=0\mathrm{Mean}(X)=\left\{\begin{array}{cl}\mu+\sigma(\mu'_{1}-1)/\xi & \text{if}\ \xi\neq 0,\xi<1\\ \mu+\sigma\,\gamma & \text{if}\ \xi=0\end{array} \right.

Varianza paramétrica

Variance(X)={σ2 (μ2′−μ1′2)/ξ2if ξ≠0,ξ<12σ2 π26if ξ=0\mathrm{Variance}(X)=\left\{\begin{array}{cl}\sigma^2\,(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})/\xi^2 & \text{if}\ \xi\neq0,\xi<\frac12\\ \sigma^2\,\frac{\pi^2}{6} & \text{if}\ \xi=0\end{array} \right.

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)={sign(ξ)μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5if ξ≠0,ξ<13126 ζ(3)π3if ξ=0\mathrm{Skewness}(X)=\left\{\begin{array}{cl}\text{sign}(\xi)\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}} & \text{if}\ \xi\neq0,\xi<\frac{1}{3} \\ \frac{12 \sqrt{6}\,\zeta(3)}{\pi^3} & \text{if}\ \xi=0\end{array} \right.

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)={3+μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2if ξ≠0,ξ<143+125if ξ=0\mathrm{Kurtosis}(X)=\left\{\begin{array}{cl}3+\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}} & \text{if}\ \xi\neq0,\xi<\frac{1}{4}\\ 3+\frac{12}{5} & \text{if}\ \xi=0\end{array} \right.

Mediana paramétrica

Median(X)={μ+σ(ln⁡2)−ξ−1ξif  ξ≠0μ−σln⁡ln⁡2if ξ=0\mathrm{Median}(X)=\left\{\begin{array}{cl}\mu+\sigma\frac{(\ln2)^{-\xi}-1}{\xi} & \text{if }\ \xi\neq0\\ \mu-\sigma \ln\ln2 & \text{if}\ \xi=0\end{array} \right.

Moda paramétrica

Mode(X)={μ+σ(1+ξ)−ξ−1ξif  ξ≠0μif  ξ=0\mathrm{Mode}(X)=\left\{\begin{array}{cl}\mu+\sigma\frac{(1+\xi)^{-\xi}-1}{\xi} & \text{if }\ \xi\neq0\\ \mu & \text{if }\ \xi=0\end{array} \right.

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−μ)/σz\left(x\right)=\left(x-\mu\right)/\sigma
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}
γ:Euler-Mascheroni constant=0.5772156649\gamma:\text{Euler-Mascheroni constant}=0.5772156649