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Distribución Loglogistica

La idea en una frase

Loglogistica es la exponencial de una variable logística. Produce tiempos o tamaños positivos con una cola de potencia y una CDF sencilla, por lo que ocupa un lugar importante en supervivencia.

Soporte e interpretación

Su soporte es toda la recta positiva. alpha funciona como escala y beta controla la forma de la cola; la media y la varianza requieren condiciones sobre beta.

Un lugar dentro de la familia

Es un caso de Beta generalizada de segundo tipo y está relacionada con Burr XII, Dagum y lognormal. A diferencia de la lognormal, su cola es de potencia y puede producir momentos indefinidos.

Una lectura aplicada

Es útil cuando el riesgo aumenta y luego disminuye, comportamiento que puede aparecer en algunas curvas de supervivencia. En ingresos, el nombre Fisk es común y permite comparar con Pareto en la cola superior.

Comprobar existencia de momentos y no interpretar alpha como el mismo parámetro que en lognormal: las colas tienen mecanismos diferentes.

Una recta escondida en los odds de supervivencia

Si el logaritmo del tiempo es Logístico, el tiempo es Loglogístico. Esta construcción produce una relación lineal entre el logaritmo de los odds acumulados y el logaritmo del tiempo. También ofrece una CDF y cuantiles sencillos, una ventaja práctica en modelos acelerados de supervivencia.

Su tasa de riesgo puede crecer y luego disminuir, a diferencia de Weibull, cuyo riesgo es monótono. Ese arco resulta plausible cuando sobreviven progresivamente unidades más resistentes. La cola es de potencia y no todos los momentos existen: la forma debe superar uno para tener media y dos para tener varianza. Un buen ajuste central puede por tanto esconder estimaciones muy inestables de costos medios o tiempos extremos.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se modelan tiempos positivos con cuantiles cerrados y un riesgo que puede subir y luego bajar.

Compárala con: Weibull para riesgo monótono y Burr XII para más flexibilidad de cola. En supervivencia, incluye censura al comparar modelos.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.fisk — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Fisk, P. R. (1961). The graduation of income distributions. Econometrica, 29(2), 171–185.
  • Kleiber, C. & Kotz, S. (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences. Wiley.

Distribución Loglogistica: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼LogLogistic(α,β)X\sim\mathrm{LogLogistic}\left(\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=11+(x/α)−βF_{X}\left(x\right)=\frac{1}{1+(x/\alpha)^{-\beta}}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=(β/α)(x/α)β−1(1+(x/α)β)2f_{X}\left(x\right)=\frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} }{ \left (1+(x/\alpha)^{\beta}\right)^2 }

Función de punto percentil

FX−1(u)=α(u1−u)1/βF^{-1}_{X}\left(u\right)=\alpha\left(\frac{u}{1-u}\right)^{1/\beta}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=αkBeta(1−k/β,1+k/β)=αk kπ/βsin⁡(kπ/β)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\alpha^k \text{Beta}(1-k/\beta,1+k/\beta)=\alpha^k\,\frac{k\pi/\beta}{\sin(k\pi/\beta)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=α\mathrm{Median}(X)=\alpha

Moda paramétrica

Mode(X)=α(β−1β+1)1/β\mathrm{Mode}(X)=\alpha\left(\frac{\beta-1}{\beta+1}\right)^{1/\beta}

Información y definiciones adicionales

α:Scale parameter\alpha:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}