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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN LOGLOGISTICA

Definición de distribución

X∼LogLogistic(α,β)X\sim\mathrm{LogLogistic}\left(\alpha,\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[0,∞)x\in [0,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=11+(x/α)−βF_{X}\left(x\right)=\frac{1}{1+(x/\alpha)^{-\beta}}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=(β/α)(x/α)β−1(1+(x/α)β)2f_{X}\left(x\right)=\frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} }{ \left (1+(x/\alpha)^{\beta}\right)^2 }

Función de punto percentil

FX−1(u)=α(u1−u)1/βF^{-1}_{X}\left(u\right)=\alpha\left(\frac{u}{1-u}\right)^{1/\beta}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=αkBeta(1−k/β,1+k/β)=αk kπ/βsin⁡(kπ/β)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\alpha^k \text{Beta}(1-k/\beta,1+k/\beta)=\alpha^k\,\frac{k\pi/\beta}{\sin(k\pi/\beta)}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=α\mathrm{Median}(X)=\alpha

Moda paramétrica

Mode(X)=α(β−1β+1)1/β\mathrm{Mode}(X)=\alpha\left(\frac{\beta-1}{\beta+1}\right)^{1/\beta}

Información y definiciones adicionales

α:Scale parameter\alpha:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}