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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN FRECHET

Definición de distribución

X∼Frechet(α,Loc,Sc)X\sim\mathrm{Frechet}\left(\alpha,\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in\left[\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,Loc∈R,Sc∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=e(−z(x))−αF_{X}\left(x\right)=e^{(-z(x))^{-\alpha}}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=αSc (z(x))−1−α e−(z(x))−αf_{X}\left(x\right)=\frac{\alpha}{\text{Sc}} \,\left(z(x)\right)^{-1-\alpha} \,e^{-(z(x))^{-\alpha}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+Sc(−ln⁡(u))−1αF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\left(-\ln(u)\right)^{-\frac{1}{\alpha}}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫Loc∞xkfX(x)dx=Γ(1−kα)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\text{Loc}}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\Gamma\left(1-\frac{k}{\alpha}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Sc⋅μ~1′if α>1\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\tilde{\mu}'_{1} \quad \text{if } \alpha>1

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2⋅(μ~2′−μ~1′2)if α>2\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}) \quad \text{if } \alpha>2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5if α>3\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}} \quad \text{if } \alpha>3

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2if α>4\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}} \quad \text{if } \alpha>4

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Scln⁡(2)α\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\frac{\text{Sc}}{\sqrt[\alpha]{\ln(2)}}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+Sc(α1+α)1/α\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\left(\frac{\alpha}{1+\alpha}\right)^{1/\alpha}

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}