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Distribución Frechet

Vista rápida

Frechet modela máximos positivos con cola pesada. Es una de las tres leyes límite de la teoría de valores extremos y representa el régimen en que las observaciones extremas decaen lentamente.

Si vienes de otra distribución

Es la forma de valor extremo de tipo II y está vinculada a Pareto mediante transformaciones de potencia. La GEV unifica las tres clases; Frechet corresponde al parámetro de forma extremo positivo en una convención usual.

Historia y terminología

Maurice Fréchet estudió en 1927 leyes límite para el máximo de muestras. El resultado forma, junto con Gumbel y Weibull, la clasificación clásica de Fisher–Tippett–Gnedenko.

Una situación conocida

Debe aplicarse a máximos por bloques o a variables cuyo mecanismo justifique una cola regular de potencia. En extremos, una pequeña diferencia en alpha cambia mucho los cuantiles extrapolados.

Para ajustar con criterio

No extrapolar retornos largos desde pocos máximos sin intervalos de incertidumbre, diagnóstico de umbral y comprobación de estabilidad.

El máximo cuando la población ya tiene una cola pesada

Fréchet identificó en 1927 una ley límite para máximos procedentes de poblaciones con colas de potencia. Al observar el mayor caudal anual, la mayor reclamación o la carga extrema de cada bloque, una normalización adecuada puede conducir a esta forma.

La cola pesada tiene consecuencias operativas. Solo existen los momentos cuyo orden queda por debajo del índice correspondiente, así que una media o varianza teórica puede faltar. Fréchet es uno de los tres regímenes reunidos por GEV y corresponde al caso sin límite superior. No toda muestra con un máximo grande pertenece a su dominio de atracción. El diagnóstico necesita varios bloques, estabilidad del índice de cola y una definición de bloque que no destruya la independencia.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se modelan máximos por bloques y la evidencia indica una cola pesada sin límite superior.

Compárala con: GEV para estimar también el tipo de cola y Generalized Pareto para excedencias sobre umbral. No mezcles máximos por bloques con observaciones ordinarias.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.invweibull — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Frechet, M. (1927). Sur la loi de probabilité de l’écart maximum. Annales de la Société Polonaise de Mathématique, 6, 93–116.
  • Coles, S. (2001). An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. Springer.

Distribución Frechet: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Frechet(α,Loc,Sc)X\sim\mathrm{Frechet}\left(\alpha,\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in\left[\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,Loc∈R,Sc∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=e(−z(x))−αF_{X}\left(x\right)=e^{(-z(x))^{-\alpha}}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=αSc (z(x))−1−α e−(z(x))−αf_{X}\left(x\right)=\frac{\alpha}{\text{Sc}} \,\left(z(x)\right)^{-1-\alpha} \,e^{-(z(x))^{-\alpha}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+Sc(−ln⁡(u))−1αF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\left(-\ln(u)\right)^{-\frac{1}{\alpha}}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫Loc∞xkfX(x)dx=Γ(1−kα)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\text{Loc}}^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\Gamma\left(1-\frac{k}{\alpha}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Sc⋅μ~1′if α>1\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\tilde{\mu}'_{1} \quad \text{if } \alpha>1

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2⋅(μ~2′−μ~1′2)if α>2\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}) \quad \text{if } \alpha>2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5if α>3\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}} \quad \text{if } \alpha>3

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2if α>4\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}} \quad \text{if } \alpha>4

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Scln⁡(2)α\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\frac{\text{Sc}}{\sqrt[\alpha]{\ln(2)}}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+Sc(α1+α)1/α\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\left(\frac{\alpha}{1+\alpha}\right)^{1/\alpha}

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}