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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN LEVY

Definición de distribución

X∼Levy(μ,c)X\sim\mathrm{Levy}\left(\mu,c\right)

Dominio de distribución

x∈[μ,∞)x\in [\mu,\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R,c∈R+\mu\in\mathbb{R},c\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−erf(c2(x−μ))F_{X}\left(x\right)=1-\textrm{erf}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu)}}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=c2π  e−c2(x−μ)(x−μ)3/2f_{X}\left(x\right)=\sqrt{\frac{c}{2\pi}}~~\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu)}}}{(x-\mu)^{3/2}}

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ+c2(erf−1(1−u))2F^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu+\frac{c}{2\left(\textrm{erf}^{-1}(1-u)\right)^2}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫μ∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\mu }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=∞\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\infty

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=∞\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\infty

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=undefined\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\text{undefined}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=undefined\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=\text{undefined}

Mediana paramétrica

Median(X)=μ+c2(erf−1(1/2))2\mathrm{Median}(X)=\mu+\frac{c}{2(\textrm{erf}^{-1}(1/2))^2}

Moda paramétrica

Mode(X)=μ+c3\mathrm{Mode}(X)=\mu+\frac{c}{3}

Información y definiciones adicionales

μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
c:Scale parameterc:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
erf(x):Error function\mathrm{erf}(x):\text{Error function}
erf−1(x):Inverse of error function\mathrm{erf}^{-1}(x):\text{Inverse of error function}