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Distribución Exponencial 2P

Retrato

Exponential 2P añade una localización a la espera exponencial. El tiempo aleatorio comienza después de un umbral y, a partir de ahí, mantiene una tasa de riesgo constante.

Huellas históricas

La forma 2P es una convención de software, no una ley de memoria nueva. Se utiliza en fiabilidad y análisis de supervivencia cuando existe un periodo inicial en el que el evento no puede ocurrir.

Dos conexiones útiles

  • Con loc=0 vuelve a ser exponencial. Es una Gamma desplazada con forma 1 y contrasta con Weibull 3P, donde la tasa puede variar con el tiempo además de existir un umbral.
  • La falta de memoria se conserva solo después del umbral: X-loc es el componente exponencial, no X desde el tiempo cero.

Caso de uso

Puede ser razonable para una máquina que no puede fallar durante una puesta en marcha conocida y luego presenta riesgo constante. Si los fallos tempranos y tardíos tienen patrones distintos, un solo loc no es suficiente.

Consejo de diagnóstico

No confundir un mínimo de observación con una localización estadística: la censura izquierda puede producir una apariencia parecida.

Memoria cero, pero solo después del umbral

La versión de dos parámetros suma una constante loc a una espera Exponencial. Puede representar un tiempo mínimo de desplazamiento antes de que empiecen llegadas aleatorias o una latencia conocida del instrumento.

La falta de memoria pertenece al exceso sobre el umbral. Si una observación aún no alcanza loc, el reloj Exponencial ni siquiera ha comenzado en esta construcción. Tampoco debe confundirse el desplazamiento con truncar una Exponencial ya iniciada. El primer caso cambia el origen del mecanismo; el segundo condiciona qué observaciones llegan a verse. Cuando loc se estima con los mismos datos, el mínimo muestral ejerce una influencia desproporcionada y la incertidumbre merece informarse.

Guía de elección

Buena candidata cuando: existe un retardo mínimo conocido y, después de él, el tiempo adicional puede tratarse como exponencial sin memoria.

Compárala con: Exponential con origen fijo y Weibull 3P. Estimar loc a partir del mínimo puede producir una falsa precisión sobre el umbral.

Referencias

Distribución Exponencial 2P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Exponential2P(λ,Loc)X\sim\mathrm{Exponential_{2P}}\left(\lambda,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in\left[\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

λ∈R+,Loc∈R\lambda\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−e−λ(x−Loc)F_{X}\left(x\right)=1-e^{-\lambda (x-\text{Loc})}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=λe−λ(x−Loc)f_{X}\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda (x-\text{Loc})}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc−ln⁡(1−u)λF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}-\frac{\ln(1-u)}{\lambda}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=k!λk\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{k!}{\lambda^{k}}

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′=Loc+1λ\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\frac{1}{\lambda}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2=1λ2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}=\frac{1}{\lambda^2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=2

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=9\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=9

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+ln⁡2λ\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\frac{\ln 2}{\lambda}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}

Información y definiciones adicionales

X~∼Exponential(λ)\tilde{X}\sim\mathrm{Exponential}\left(\lambda\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
λ:Inverse of scale parameter\lambda:\text{Inverse of scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}