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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL 2P

Definición de distribución

X∼Exponential2P(λ,Loc)X\sim\mathrm{Exponential_{2P}}\left(\lambda,\text{Loc}\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in\left[\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

λ∈R+,Loc∈R\lambda\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−e−λ(x−Loc)F_{X}\left(x\right)=1-e^{-\lambda (x-\text{Loc})}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=λe−λ(x−Loc)f_{X}\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda (x-\text{Loc})}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc−ln⁡(1−u)λF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}-\frac{\ln(1-u)}{\lambda}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=k!λk\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{k!}{\lambda^{k}}

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′=Loc+1λ\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\frac{1}{\lambda}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2=1λ2\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}=\frac{1}{\lambda^2}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=2

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=9\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=9

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+ln⁡2λ\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\frac{\ln 2}{\lambda}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}

Información y definiciones adicionales

X~∼Exponential(λ)\tilde{X}\sim\mathrm{Exponential}\left(\lambda\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
λ:Inverse of scale parameter\lambda:\text{Inverse of scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}