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Distribución Kumaraswamy Exponenciada

Qué representa

Exponentiated Kumaraswamy combina una distribución Kumaraswamy acotada con una potencia adicional. Esa capa extra puede crear perfiles más inclinados, en U o con un pico, sin abandonar el intervalo [min,max].

Pista histórica

La construcción pertenece a la familia de distribuciones generadas por transformaciones de CDF. Es más reciente que las familias clásicas y se estudia como un modelo flexible para datos unitarios.

Relaciones que aclaran su uso

Con lambda=1 se recupera Kumaraswamy. La familia comparte la motivación de Beta en intervalos acotados, pero su CDF y cuantiles pueden calcularse con operaciones elementales, sin la función Beta incompleta en la parametrización estándar.

Ejemplos de datos

  • proporciones y tasas normalizadas en (min,max)
  • datos acotados con asimetría o concentración que una Beta simple no captura

Advertencia de modelado

Muchos parámetros en un intervalo corto pueden producir identificación débil; comparar contra Beta y Kumaraswamy con el mismo soporte es una comprobación mínima.

Añadir una potencia a una CDF ya explícita

La construcción exponentiada toma la CDF de Kumaraswamy y la eleva a un parámetro positivo. Si ese parámetro es un entero, puede interpretarse como el máximo de varias variables Kumaraswamy independientes. Con valor uno se recupera la familia original.

La capa adicional mueve masa y permite curvas acotadas que la versión de dos formas no reproduce con igual facilidad. Conserva una función cuantil explícita, útil para simulación. Esa comodidad no elimina la competencia entre parámetros: varias combinaciones pueden producir cuantiles centrales casi iguales y diferir solo junto a los límites. Para proporciones, inspeccionar ambos extremos y comparar con Beta, Kumaraswamy y McDonald evita pagar tres formas por una flexibilidad que los datos no identifican.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se requieren formas acotadas que Beta o Kumaraswamy no reproducen, y hay muestra suficiente para identificar el parámetro de potencia adicional.

Compárala con: Beta y Kumaraswamy mediante validación fuera de muestra. La flexibilidad extra solo se justifica si mejora cuantiles o decisiones relevantes, no únicamente el ajuste dentro de la muestra.

Referencias

Distribución Kumaraswamy Exponenciada: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼ExponentiatedKumaraswamy(α,β,λ,min,max)X\sim\mathrm{ExponentiatedKumaraswamy}\left(\alpha,\beta,\lambda,\text{min},\text{max}\right)

Dominio de distribución

x∈(min,max)x\in\left(\text{min},\text{max}\right)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+,λ∈R+,min∈R,max∈R\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+},\lambda\in\mathbb{R}^{+},\text{min}\in\mathbb{R},\text{max}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=[1−(1−z(x)α)β]λF_{X}\left(x\right)=\left[1-\left(1-z(x)^{\alpha}\right)^{\beta}\right]^{\lambda}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=αβλmax−min z(x)α−1(1−z(x)α)β−1[1−(1−z(x)α)β]λ−1f_{X}\left(x\right)=\frac{\alpha\beta\lambda}{\text{max}-\text{min}}\,z(x)^{\alpha-1}\left(1-z(x)^{\alpha}\right)^{\beta-1}\left[1-\left(1-z(x)^{\alpha}\right)^{\beta}\right]^{\lambda-1}

Función de punto percentil

FX−1(u)=min+(max−min)[1−(1−u1/λ)1/β]1/αF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\left[1-\left(1-u^{1/\lambda}\right)^{1/\beta}\right]^{1/\alpha}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=λ∑j=0∞(−1)j(k/αj)Beta ⁣(jβ+1,λ)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\lambda\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}\binom{k/\alpha}{j}\text{Beta}\!\left(\tfrac{j}{\beta}+1,\lambda\right)

Media paramétrica

Mean(X)=min+(max−min)×μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\times \tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(max−min)2(μ~2′−μ~1′2)\mathrm{Variance}(X)=\left(\text{max}-\text{min}\right)^{2}(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=FX−1(0.5)\mathrm{Median}(X)=F^{-1}_{X}\left(0.5\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡x∈(min,max)fX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x\in(\text{min},\text{max})} f_{X}(x)

Información y definiciones adicionales

X~∼ExponentiatedKumaraswamy(α,β,λ,0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{ExponentiatedKumaraswamy}\left(\alpha,\beta,\lambda,0,1\right)
z(x)=(x−min)/(max−min)z\left(x\right)=\left(x-\text{min}\right)/\left(\text{max}-\text{min}\right)
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}
(νj):Generalized binomial coefficient\binom{\nu}{j}:\text{Generalized binomial coefficient}