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Distribución Nakagami

Qué describe

Nakagami modela la amplitud de una señal con desvanecimiento rápido. m controla la severidad del fading y omega el poder medio; la familia adapta su forma a entornos de propagación distintos.

La amplitud es no negativa. El caso m=1 es Rayleigh y m=1/2 coincide con una seminormal en una convención común; valores mayores concentran más la señal alrededor de su potencia media.

Historia y nombres

Minoru Nakagami propuso el modelo en 1960 al estudiar la intensidad de desvanecimientos rápidos en radio. Su uso se extendió a canales inalámbricos y análisis de rendimiento.

Relación con otras distribuciones

Es una transformación de Gamma aplicada al cuadrado de la amplitud. Rayleigh y aproximaciones Rician aparecen como casos o límites relacionados; Weibull también se usa como alternativa empírica para fading.

Dónde aparece

  • canales inalámbricos y desvanecimiento multipropagación
  • radar, sonar y modelos de intensidad de señales

Precauciones al ajustar

Respetar m ≥ 1/2 y omega > 0; comparar omega con potencia media solo cuando la convención del paquete coincide.

La amplitud cuya potencia se vuelve Gamma

Minoru Nakagami propuso la distribución m para desvanecimiento rápido de ondas de radio. Su construcción clave es simple: el cuadrado de la amplitud sigue una Gamma. Así, omega representa la potencia media y m regula la severidad de la fluctuación.

En la forma clásica, m=1 recupera Rayleigh y m=1/2 se relaciona con Half Normal. Valores mayores concentran la amplitud y pueden aproximar ciertos canales Rice, aunque Nakagami no modela explícitamente una componente de línea de vista. Esa capacidad de aproximación explica su éxito computacional. También aconseja no interpretar m como un conteo físico sin evidencia del canal.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se modela amplitud de señal no negativa y su potencia puede describirse mediante una Gamma.

Compárala con: Rayleigh cuando no hay línea de vista y Rice cuando existe un componente coherente explícito. Ajusta y diagnostica la potencia además de la amplitud.

Referencias

Distribución Nakagami: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Nakagami(m,Ω)X\sim\mathrm{Nakagami}\left(m,\Omega\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

m∈R⩾12+,Ω∈R+m\in\mathbb{R}^{+}_{\geqslant \frac{1}{2}},\Omega\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=γ(m,mΩx2)Γ(m)=P(m,mΩx2)F_{X}\left(x\right)=\frac{\gamma\left(m,\frac{m}{\Omega} x^2\right)}{\Gamma(m)}=\text{P}\left(m,\frac{m}{\Omega} x^2\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=2mmΓ(m)Ωmx2m−1exp⁡(−mΩx2)f_{X}\left(x\right)=\frac{2m^m}{\Gamma(m)\Omega^m} x^{2m-1} \exp\left(-\frac{m}{\Omega}x^2\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=ΩmP−1(m,u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\sqrt{\frac{\Omega}{m}\text{P}^{-1}\left(m,u\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′=Γ(m+12)Γ(m)(Ωm)1/2\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}=\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)}\left(\frac{\Omega}{m}\right)^{1/2}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2=Ω(1−1m(Γ(m+12)Γ(m))2)\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}=\Omega\left(1-\frac{1}{m}\left(\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)}\right)^2\right)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=Γ(m+12)Γ(m)m(1−4m(1−1m(Γ(m+12)Γ(m))2))2m(1−1m(Γ(m+12)Γ(m))2)3/2\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)\sqrt{m}}\left(1-4m\left(1-\frac{1}{m}\left(\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)}\right)^2\right)\right)}{2m\left(1-\frac{1}{m}\left(\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)}\right)^2\right)^{3/2}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+−6(Γ(m+12)Γ(m)m)4m+(8m−2)(Γ(m+12)Γ(m)m)2−2m+1m(1−1m(Γ(m+12)Γ(m))2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{-6\left(\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)\sqrt{m}}\right)^{4}m+\left(8m-2\right)\left(\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)\sqrt{m}}\right)^{2}-2m+1}{m\left(1-\frac{1}{m}\left(\frac{\Gamma(m+\frac{1}{2})}{\Gamma(m)}\right)^2\right)^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=ΩmP−1(m,12)\mathrm{Median}(X)=\sqrt{\frac{\Omega}{m}\text{P}^{-1}\left(m,\frac{1}{2}\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=22((2m−1)Ωm)1/2\mathrm{Mode}(X)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{(2m-1)\Omega}{m}\right)^{1/2}

Información y definiciones adicionales

u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}