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Distribución Gibrat

De un fenómeno a un modelo

Robert Gibrat propuso en 1931 una explicación de tamaños económicos basada en tasas de crecimiento proporcionales. La llamada ley de Gibrat se estudió en empresas, ciudades y otras unidades que crecen multiplicativamente.

Lo que conviene mirar

Su soporte comienza en loc y continúa a infinito. scale actúa sobre la escala logarítmica del modelo implementado; la traducción a otros textos debe verificar esa convención.

Relaciones útiles

Es esencialmente una lognormal parametrizada con localización. La normal describe el crecimiento acumulado en logaritmos; Pareto y Dagum suelen complementar la parte superior de distribuciones de tamaño e ingreso.

Nombres que también encontrarás

También se conoce como Gibrat distribution o lognormal de Gibrat. La ley de Gibrat es una hipótesis sobre crecimiento, no solo el nombre de una densidad.

Cuándo tiene sentido

Gibrat ofrece una hipótesis generativa: muchas pequeñas tasas independientes producen dispersión en logaritmos. Si el crecimiento depende sistemáticamente del tamaño, la interpretación de Gibrat deja de ser adecuada aunque la curva ajuste bien.

Qué no debe suponerse

No inferir crecimiento proporcional a partir de una lognormal observada: la misma forma puede surgir por otros mecanismos multiplicativos.

La ley de crecimiento que terminó siendo una Lognormal

Robert Gibrat propuso que el crecimiento proporcional de una empresa podía ser independiente de su tamaño. Si muchos factores de crecimiento se multiplican a lo largo del tiempo, los logaritmos se suman y el tamaño final puede aproximarse por una Lognormal. Por eso la distribución de Gibrat es, en esencia, una parametrización lognormal.

La llamada ley del efecto proporcional es una hipótesis económica, no una identidad matemática universal. Empresas pequeñas y grandes pueden tener tasas, volatilidades y probabilidades de salida distintas. La selección de supervivientes también deforma la distribución observada. Ajustar Gibrat describe tamaños compatibles con crecimiento multiplicativo, pero comprobar la ley exige datos longitudinales sobre crecimiento, no solo una fotografía transversal de tamaños.

Guía de elección

Buena candidata cuando: un tamaño positivo es compatible con muchos factores de crecimiento multiplicativos y la dispersión logarítmica fija del modelo resulta plausible.

Compárala con: Lognormal con forma libre y Pareto para la cola. Una distribución transversal compatible no demuestra la ley de crecimiento proporcional; para eso hacen falta datos longitudinales.

Referencias

Distribución Gibrat: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Gibrat(Loc,Sc)X\sim\mathrm{Gibrat}\left(\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

Loc∈R,Sc∈R+\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(ln⁡x)=12(1+erf(ln⁡z(x)2))F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\ln x\right)=\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{\ln z(x)}{\sqrt{2}}\right)\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Sc1x2πexp⁡(−12(ln⁡z(x))2)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\text{Sc}}\frac{1}{x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\ln z(x)\right)^{2}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+Sc×exp⁡(Φ−1(u))F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\times \exp\left(\Phi^{-1}\left(u\right)\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫Loc∞xkfX(x)dx=exp⁡(k22)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\text{Loc}}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\exp\left(\frac{k^{2}}{2}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Sc⋅μ~1′=Loc+Sc⋅e\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\sqrt{e}

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2⋅(μ~2′−μ~1′2)=Sc2[e2−e]\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\text{Sc}^{2}\left[e{^2}-e\right]

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=e−1(2+e)\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\sqrt{e-1}\left(2+e\right)

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=e4+2e3+3e2−3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=e^{4}+2e^{3}+3e^{2}-3

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Sc×exp⁡(Φ−1(1/2))\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\times \exp\left(\Phi^{-1}\left(1/2\right)\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+Sce\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\frac{\text{Sc}}{e}

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
erf(x):Error function\mathrm{erf}(x):\text{Error function}