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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN GIBRAT

Definición de distribución

X∼Gibrat(Loc,Sc)X\sim\mathrm{Gibrat}\left(\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

Loc∈R,Sc∈R+\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(ln⁡x)=12(1+erf(ln⁡z(x)2))F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\ln x\right)=\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{\ln z(x)}{\sqrt{2}}\right)\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=1Sc1x2πexp⁡(−12(ln⁡z(x))2)f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\text{Sc}}\frac{1}{x\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\ln z(x)\right)^{2}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+Sc×exp⁡(Φ−1(u))F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\times \exp\left(\Phi^{-1}\left(u\right)\right)

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫Loc∞xkfX(x)dx=exp⁡(k22)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{\text{Loc}}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=\exp\left(\frac{k^{2}}{2}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Sc⋅μ~1′=Loc+Sc⋅e\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\sqrt{e}

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2⋅(μ~2′−μ~1′2)=Sc2[e2−e]\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\text{Sc}^{2}\left[e{^2}-e\right]

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=e−1(2+e)\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\sqrt{e-1}\left(2+e\right)

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=e4+2e3+3e2−3\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=e^{4}+2e^{3}+3e^{2}-3

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Sc×exp⁡(Φ−1(1/2))\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\times \exp\left(\Phi^{-1}\left(1/2\right)\right)

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+Sce\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\frac{\text{Sc}}{e}

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
erf(x):Error function\mathrm{erf}(x):\text{Error function}