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Distribución Vida a Fatiga

Qué describe

Fatigue Life es la distribución de Birnbaum–Saunders, construida para el número de ciclos hasta que una grieta dominante produce el fallo. Su asimetría nace de acumular incrementos de daño alrededor de un nivel crítico.

El soporte es positivo después de loc. scale fija una vida característica y gamma controla la variabilidad relativa; la curva puede tener una cola derecha apreciable.

Historia y nombres

Birnbaum y Saunders la introdujeron en 1969 para problemas de fatiga en materiales sometidos a cargas cíclicas. El nombre “fatigue life” conserva esa motivación de mecánica de fractura.

Relación con otras distribuciones

Su derivación está conectada con un proceso de Wiener y con la distribución Gaussiana inversa. También se relaciona con aproximaciones de primera pasada, aunque no es idéntica a la Inverse Gaussian.

Dónde aparece

  • vida de componentes metálicos, soldaduras y estructuras bajo carga cíclica
  • ensayos de fiabilidad con censura y datos de tiempo hasta fallo

Precauciones al ajustar

No confundir la cola de Fatigue Life con evidencia de una ley de potencia: su asimetría proviene del modelo de daño y puede diferir mucho de Pareto.

La grieta que convirtió daño en tiempo

Birnbaum y Saunders imaginaron una grieta sometida a ciclos repetidos. Pequeños incrementos de daño se acumulan hasta cruzar un nivel crítico; al traducir ese cruce a número de ciclos aparece la distribución Fatigue Life. El nombre Birnbaum Saunders conserva a sus autores y sigue siendo el más común en la literatura estadística.

Su construcción mantiene un vínculo con la Normal, pero produce tiempos positivos y asimétricos. Un rasgo útil es la relación recíproca alrededor del parámetro de escala, que refleja la simetría de la transformación generadora. El relato de grietas no debe tomarse como prueba de ajuste para cualquier pieza fatigada. Censura, varios modos de fallo y cargas variables pueden cambiar por completo la distribución observada.

Guía de elección

Buena candidata cuando: el tiempo de fallo resulta de daño acumulado y la transformación recíproca característica de Birnbaum–Saunders tiene sentido.

Compárala con: Lognormal y Weibull mediante gráficos de probabilidad y riesgo. Los tres modelos pueden parecer similares en el cuerpo, pero implican mecanismos y extrapolaciones distintas.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.fatiguelife — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Birnbaum, Z. W. & Saunders, S. C. (1969). A new family of life distributions. Journal of Applied Probability, 6, 319–327.
  • Owen, W. J. & Ng, H. K. T. (2015). Revisit of relationships and models for the Birnbaum–Saunders and inverse-Gaussian distributions. Journal of Statistical Distributions and Applications, 2, 11.

Distribución Vida a Fatiga: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼FatigueLife(γ,Loc,Sc)X\sim\mathrm{FatigueLife}\left(\gamma,\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

γ∈R+,Loc∈R,Sc∈R+\gamma\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(z(x)−1z(x)γ)F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\frac{\sqrt{z(x)}-\sqrt{\frac{1}{z(x)}}}{\gamma}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=z(x)+1z(x)2γz(x)ϕ(z(x)−1z(x)γ)f_{X}\left(x\right)=\frac{\sqrt{z(x)}+\sqrt{\frac{1}{z(x)}}}{2\gamma z(x)}\phi\left(\frac{\sqrt{z(x)}-\sqrt{\frac{1}{z(x)}}}{\gamma}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+Sc14[γΦ−1(u)+4+(γΦ−1(u))2]2F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{1}{4}\left[\gamma\Phi^{-1}(u)+\sqrt{4+\left(\gamma\Phi^{-1}(u)\right)^2}\right]^2

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Sc⋅μ~1′=Loc+Sc(1+γ22)\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\text{Sc}\left(1+\frac{\gamma^2}{2}\right)

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2⋅(μ~2′−μ~1′2)=Sc2γ2(1+5γ24)\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\text{Sc}^{2}\gamma^{2}\left(1+\frac{5\gamma^{2}}{4}\right)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=4γ(6+11γ2)(4+5γ2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{4\gamma(6+11\gamma^2)}{(4+5\gamma^2)^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+6γ2(93γ2+40)(5γ2+4)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{ 6 \gamma^2 ( 93 \gamma^2+40 ) }{ ( 5 \gamma^2+4 )^2 }

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Sc14[γΦ−1(1/2)+4+(γΦ−1(1/2))2]2\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{1}{4}\left[\gamma\Phi^{-1}\left(1/2\right)+\sqrt{4+\left(\gamma\Phi^{-1}\left(1/2\right)\right)^2}\right]^2

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
ϕ(x):PDF normal standard distribution\phi\left(x\right):\text{PDF normal standard distribution}