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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN FATIGUE LIFE

Definición de distribución

X∼FatigueLife(γ,Loc,Sc)X\sim\mathrm{FatigueLife}\left(\gamma,\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈(Loc,∞)x\in\left(\text{Loc},\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

γ∈R+,Loc∈R,Sc∈R+\gamma\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Φ(z(x)−1z(x)γ)F_{X}\left(x\right)=\Phi\left(\frac{\sqrt{z(x)}-\sqrt{\frac{1}{z(x)}}}{\gamma}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=z(x)+1z(x)2γz(x)ϕ(z(x)−1z(x)γ)f_{X}\left(x\right)=\frac{\sqrt{z(x)}+\sqrt{\frac{1}{z(x)}}}{2\gamma z(x)}\phi\left(\frac{\sqrt{z(x)}-\sqrt{\frac{1}{z(x)}}}{\gamma}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+Sc14[γΦ−1(u)+4+(γΦ−1(u))2]2F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{1}{4}\left[\gamma\Phi^{-1}(u)+\sqrt{4+\left(\gamma\Phi^{-1}(u)\right)^2}\right]^2

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫−∞∞xkfX(x)dx\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Sc⋅μ~1′=Loc+Sc(1+γ22)\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\cdot\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\text{Sc}\left(1+\frac{\gamma^2}{2}\right)

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2⋅(μ~2′−μ~1′2)=Sc2γ2(1+5γ24)\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\text{Sc}^{2}\gamma^{2}\left(1+\frac{5\gamma^{2}}{4}\right)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5=4γ(6+11γ2)(4+5γ2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{4\gamma(6+11\gamma^2)}{(4+5\gamma^2)^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2=3+6γ2(93γ2+40)(5γ2+4)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{ 6 \gamma^2 ( 93 \gamma^2+40 ) }{ ( 5 \gamma^2+4 )^2 }

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+Sc14[γΦ−1(1/2)+4+(γΦ−1(1/2))2]2\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{1}{4}\left[\gamma\Phi^{-1}\left(1/2\right)+\sqrt{4+\left(\gamma\Phi^{-1}\left(1/2\right)\right)^2}\right]^2

Moda paramétrica

Mode(X)=arg⁡max⁡xfX(x)\mathrm{Mode}(X)=\arg\max_{x}f_{X}\left(x\right)

Información y definiciones adicionales

Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
ϕ(x):PDF normal standard distribution\phi\left(x\right):\text{PDF normal standard distribution}