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Distribución McDonald

Por qué existe

McDonald es una distribución acotada generada al aplicar una potencia a una variable Beta. Ofrece cinco parámetros para controlar límites, forma y concentración en un intervalo finito.

Nombre alternativo

También aparece como McDonald distribution o generalized Beta type I. No confundir la GB1 con la GB2: la primera es acotada y la segunda tiene soporte positivo no acotado.

Construcciones y límites

Con c=1 se reduce a una Beta reescalada. La GB1 pertenece al árbol de Beta generalizada que también contiene casos relacionados con Dagum, Burr y loglogística.

Aplicaciones

Puede ser útil cuando el intervalo está fijado por la medición y la forma necesita más grados de libertad que Beta. En datos económicos, la elección de límites y la comparabilidad entre poblaciones es tan importante como la curva.

Cinco parámetros pueden sobreajustar una muestra acotada; comparar contra Beta y reportar incertidumbre de los límites.

Una Beta que adquiere una palanca adicional

McDonald partió de familias Beta generalizadas para modelar tamaños económicos. En la forma acotada que usa Phitter, una potencia aplicada a la posición relativa dentro de [min,max] entra en una Beta. El parámetro adicional modifica la cercanía al límite inferior sin obligar a mover el superior.

Esta distribución también se describe como Beta generalizada de primer tipo. No debe confundirse con GB2, que posee soporte positivo no acotado y ocupa un lugar central en modelos de ingreso. La flexibilidad de cinco parámetros puede reproducir muchas siluetas, pero también crea equivalencias prácticas. Si Beta o Kumaraswamy explican los cuantiles relevantes, preferir la curva más simple mejora la estabilidad y la comunicación.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los datos están acotados y se necesita más control de forma que el ofrecido por Beta o Kumaraswamy.

Compárala con: esas familias más simples mediante validación fuera de muestra. Cinco parámetros pueden imitar muchas curvas y producir incertidumbre grande en los extremos.

Referencias

Distribución McDonald: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼McDonald(a,b,c,min,max)X\sim\mathrm{McDonald}\left(a,b,c,\text{min},\text{max}\right)

Dominio de distribución

x∈(min,max)x\in\left(\text{min},\text{max}\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R+,b∈R+,c∈R+,min∈R,max∈Ra\in\mathbb{R}^{+},b\in\mathbb{R}^{+},c\in\mathbb{R}^{+},\text{min}\in\mathbb{R},\text{max}\in\mathbb{R}

Función de distribución acumulada

FX(x)=Iz(x)c(a,b)F_{X}\left(x\right)=I_{z(x)^{c}}\left(a,b\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=c(max−min)Beta(a,b) z(x)ac−1(1−z(x)c)b−1f_{X}\left(x\right)=\frac{c}{\left(\text{max}-\text{min}\right)\text{Beta}(a,b)}\,z(x)^{ac-1}\left(1-z(x)^{c}\right)^{b-1}

Función de punto percentil

FX−1(u)=min+(max−min)[Iu−1(a,b)]1/cF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\left[I^{-1}_{u}\left(a,b\right)\right]^{1/c}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=Beta ⁣(a+kc,b)Beta(a,b)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^{k}]=\frac{\text{Beta}\!\left(a+\tfrac{k}{c},b\right)}{\text{Beta}(a,b)}

Media paramétrica

Mean(X)=min+(max−min)×μ~1′\mathrm{Mean}(X)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\times \tilde{\mu}'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(max−min)2(μ~2′−μ~1′2)\mathrm{Variance}(X)=\left(\text{max}-\text{min}\right)^{2}(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=min+(max−min)[I0.5−1(a,b)]1/c\mathrm{Median}(X)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\left[I^{-1}_{0.5}\left(a,b\right)\right]^{1/c}

Moda paramétrica

Mode(X)=min+(max−min)(ac−1ac+bc−c−1)1/c\mathrm{Mode}(X)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\left(\frac{ac-1}{ac+bc-c-1}\right)^{1/c}

Información y definiciones adicionales

X~∼McDonald(a,b,c,0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{McDonald}\left(a,b,c,0,1\right)
If Xc∼Beta(a,b) then X∼McDonald(a,b,c)\text{If }X^{c}\sim\mathrm{Beta}(a,b)\text{ then }X\sim\mathrm{McDonald}(a,b,c)
z(x)=(x−min)/(max−min)z\left(x\right)=\left(x-\text{min}\right)/\left(\text{max}-\text{min}\right)
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Ix(a,b):Regularized incomplete beta functionI_{x}(a,b):\text{Regularized incomplete beta function}
Iu−1(a,b):Inverse of regularized incomplete beta functionI^{-1}_{u}(a,b):\text{Inverse of regularized incomplete beta function}
Beta(a,b):Beta function\text{Beta}(a,b):\text{Beta function}
Mode formula valid when ac>1 and b>1\text{Mode formula valid when } ac>1 \text{ and } b>1