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Distribución Seminormal

La idea en una frase

La Seminormal de Phitter es una ubicación mu más el valor absoluto de una Normal centrada. Modela magnitudes de error o amplitud por encima de un piso cuando el signo no se observa.

Soporte e interpretación

Su soporte comienza en mu y sigma controla la dispersión. Solo es necesariamente no negativa cuando mu ≥ 0; mu desplaza el resultado plegado y no es la media de la Normal latente.

Un lugar dentro de la familia

Es un caso centrado de la Folded Normal y puede verse como una chi-cuadrado con un grado de libertad después de elevar al cuadrado. Rayleigh y Maxwell son análogas radiales en dos y tres dimensiones.

Una lectura aplicada

Es una línea base transparente para una magnitud que surge de una sola componente normal. Si el valor absoluto oculta una media subyacente distinta de cero, Folded Normal es más apropiada.

No tratar la desviación de una seminormal como si fuera la sigma de la normal original sin tener en cuenta el plegado.

La magnitud de un error normal sin signo

Después de restar mu, Half Normal es el valor absoluto de una Normal centrada. Esa construcción deja un parámetro de escala y concentra la moda en el piso mu. Aparece cuando un instrumento registra tamaño del error pero no dirección, o como distribución a priori débilmente informativa para escalas positivas cuando mu=0.

El cuadrado de (X-mu)/sigma sigue Chi Cuadrado con un grado de libertad. También es el caso unidimensional de la familia Chi, mientras Rayleigh y Maxwell corresponden a magnitudes en dos y tres dimensiones. Si la Normal subyacente tiene media distinta de cero antes de tomar el valor absoluto, la ley correcta es Folded Normal; ese efecto no equivale a desplazar el resultado con mu.

Guía de elección

Buena candidata cuando: después de restar un piso mu, la medición es la magnitud de un único error Normal centrado.

Compárala con: Folded Normal si el centro de la Normal latente puede apartarse de cero y Rayleigh para la magnitud de dos componentes. Revisa la masa cerca del piso.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.halfnorm — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Evans, M., Hastings, N. & Peacock, B. (2000). Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley.
  • Leone, F. C., Nelson, L. S. & Nottingham, R. B. (1961). The folded normal distribution. Technometrics, 3(4), 543–550.

Distribución Seminormal: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼HalfNormal(μ,σ)X\sim\mathrm{HalfNormal}\left(\mu,\sigma\right)

Dominio de distribución

x∈(μ,∞)x\in\left(\mu,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

μ∈R,σ∈R+\mu\in\mathbb{R},\sigma\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=2Φ(z(x))−1=erf⁡(z(x)2)F_{X}\left(x\right)=2\Phi\left(z(x)\right)-1=\operatorname{erf}\left(\frac{z(x)}{\sqrt{2}}\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=2σπexp⁡(−z(x)22)f_{X}\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{\sigma\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{z(x)^2}{2}\right)

Función de punto percentil

FX−1(u)=μ+σΦ−1(1+u2)=μ~+σ2erf⁡−1(u)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\mu+\sigma\Phi^{-1}\left(\frac{1+u}{2}\right)=\tilde{\mu}+\sigma\sqrt{2}\operatorname{erf}^{-1}(u)

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=2n/2Γ(n+12)π\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{2^{n/2} \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}}

Media paramétrica

Mean(X)=μ~+σμ~1′=μ~+σ2π\mathrm{Mean}(X)=\tilde{\mu}+\sigma\tilde{\mu}'_{1}=\tilde{\mu}+\sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}

Varianza paramétrica

Variance(X)=σ2(μ~2′−μ~1′2)=σ2(1−2π)\mathrm{Variance}(X)=\sigma^{2}(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\sigma^2\left(1-\frac 2 \pi\right)

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=2(4−π)(π−2)3/2=0.9952717\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{\sqrt{2}(4-\pi)}{(\pi-2)^{3/2}}=0.9952717

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=3+8(π−3)(π−2)2=3.869177\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{8(\pi-3)}{(\pi-2)^2}= 3.869177

Mediana paramétrica

Median(X)=μ+σ2erf⁡−1(1/2)\mathrm{Median}(X)=\mu+\sigma\sqrt{2}\operatorname{erf}^{-1}(1/2)

Moda paramétrica

Mode(X)=μ\mathrm{Mode}(X)=\mu

Información y definiciones adicionales

X~∼HalfNormal(0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{HalfNormal}\left(0,1\right)
μ:Location parameter\mu:\text{Location parameter}
σ:Scale parameter\sigma:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−μ)/σz\left(x\right)=\left(x-\mu\right)/\sigma
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Φ(x):CDF normal standard distribution\Phi\left(x\right):\text{CDF normal standard distribution}
Φ−1(x):PPF normal standard distribution\Phi^{-1}\left(x\right):\text{PPF normal standard distribution}
erf(x):Error function\mathrm{erf}(x):\text{Error function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}