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ECUACIONES DISTRIBUCIÓN GAMMA GENERALIZADA

Definición de distribución

X∼GeneralizedGamma(a,d,p)X\sim\mathrm{GeneralizedGamma}\left(a,d,p\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R+,d∈R+,p∈R+a\in\mathbb{R}^{+},d\in\mathbb{R}^{+},p\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(d/p,(x/a)p)=γ(d/p,(x/a)p)Γ(d/p)F_{X}\left(x\right)=\text{P}(d/p,(x/a)^p)=\frac{\gamma(d/p,(x/a)^p)}{\Gamma(d/p)}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=p/adΓ(d/p)xd−1e−(x/a)pf_{X}\left(x\right)=\frac{p/a^d}{\Gamma(d/p)} x^{d-1}e^{-(x/a)^p}

Función de punto percentil

FX−1(u)=aP−1(dp,u)1pF^{-1}_{X}\left(u\right)=a\text{P}^{-1}\left(\frac{d}{p},u\right)^{\frac{1}{p}}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=akΓ(d+kp)Γ(dp)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=a^k\frac{\Gamma (\frac{d+k}{p})}{\Gamma(\frac{d}{p})}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=aP−1(dp,12)1p\mathrm{Median}(X)=a\text{P}^{-1}\left(\frac{d}{p},\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{p}}

Moda paramétrica

Mode(X)=a(d−1p)1pif d>1\mathrm{Mode}(X)=a\left(\frac{d-1}{p}\right)^{\frac{1}{p}} \quad \text{if } d>1

Información y definiciones adicionales

a:Scale parametera:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}