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Distribución Gamma Generalizada

De un fenómeno a un modelo

E. W. Stacy introdujo esta parametrización en 1962 como una generalización de Gamma. Desde entonces se ha usado en supervivencia porque reúne varias formas de vida en un mismo modelo.

Lo que conviene mirar

El soporte es positivo. Con los parámetros positivos usados por Phitter, la cola es de tipo exponencial potenciada y todos los momentos positivos existen, aunque la forma puede ser muy asimétrica.

Relaciones útiles

Con p=1 se obtiene Gamma en una parametrización equivalente; con una elección de forma se obtiene Weibull, y el límite de otro parámetro produce lognormal. También generaliza la lógica de Erlang cuando la forma no es entera.

Nombres que también encontrarás

También se llama Stacy generalized gamma. Hay varias convenciones de parámetros en la literatura; no asumir que a, d y p significan lo mismo en cada paquete.

Cuándo tiene sentido

Es valiosa cuando una misma base de datos necesita comparar curvas de supervivencia que pueden parecer Gamma, Weibull o lognormal. A cambio, más flexibilidad puede dificultar la identificación y la comunicación.

Qué no debe suponerse

El límite lognormal es numéricamente delicado y algunos parámetros pueden quedar muy correlacionados; usar perfiles o intervalos bootstrap cuando la selección sea importante.

Una encrucijada entre Gamma, Weibull y Lognormal

Stacy reunió en 1962 varias leyes positivas mediante una potencia adicional. Con elecciones particulares se recuperan Gamma y Weibull, y un límite apropiado conduce a Lognormal. Esta genealogía vuelve a la Gamma Generalizada útil para comparar formas de supervivencia dentro de una sola familia.

La flexibilidad se ve en su función de riesgo, que puede crecer, decrecer o adoptar otras curvaturas según la parametrización. También tiene un costo: diferentes combinaciones de forma pueden producir densidades casi indistinguibles en el rango observado. La optimización puede entonces encontrar valles planos y grandes errores estándar. Conviene comparar perfiles de cuantiles y riesgo, usar varios puntos iniciales y no interpretar cada parámetro aislado cuando la muestra no los identifica bien.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se necesita una familia positiva capaz de representar varias formas de riesgo y de contener Gamma y Weibull como referencias.

Compárala con: sus submodelos más simples. Si Gamma o Weibull reproducen los cuantiles relevantes, la Generalized Gamma puede añadir correlación de parámetros sin beneficio práctico.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.gengamma — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1995). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 2. Wiley.
  • Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187–1192.
  • Lawless, J. F. (2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data, 2nd ed. Wiley.

Distribución Gamma Generalizada: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼GeneralizedGamma(a,d,p)X\sim\mathrm{GeneralizedGamma}\left(a,d,p\right)

Dominio de distribución

x∈(0,∞)x\in\left(0,\infty\right)

Dominio y restricciones de parámetros

a∈R+,d∈R+,p∈R+a\in\mathbb{R}^{+},d\in\mathbb{R}^{+},p\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=P(d/p,(x/a)p)=γ(d/p,(x/a)p)Γ(d/p)F_{X}\left(x\right)=\text{P}(d/p,(x/a)^p)=\frac{\gamma(d/p,(x/a)^p)}{\Gamma(d/p)}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=p/adΓ(d/p)xd−1e−(x/a)pf_{X}\left(x\right)=\frac{p/a^d}{\Gamma(d/p)} x^{d-1}e^{-(x/a)^p}

Función de punto percentil

FX−1(u)=aP−1(dp,u)1pF^{-1}_{X}\left(u\right)=a\text{P}^{-1}\left(\frac{d}{p},u\right)^{\frac{1}{p}}

Momentos paramétricos no centrados

μk′=E[Xk]=∫0∞xkfX(x)dx=akΓ(d+kp)Γ(dp)\mu'_{k}=E[X^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{X}\left(x\right)dx=a^k\frac{\Gamma (\frac{d+k}{p})}{\Gamma(\frac{d}{p})}

Media paramétrica

Mean(X)=μ1′\mathrm{Mean}(X)=\mu'_{1}

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ2′−μ1′2\mathrm{Variance}(X)=\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ3′−3μ2′μ1′+2μ1′3(μ2′−μ1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\mu'_{3}-3\mu'_{2}\mu'_{1}+2\mu'^{3}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ4′−4μ1′μ3′+6μ1′2μ2′−3μ1′4(μ2′−μ1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\mu'_{4}-4\mu'_{1}\mu'_{3}+6\mu'^{2}_{1}\mu'_{2}-3\mu'^{4}_{1}}{(\mu'_{2}-\mu'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=aP−1(dp,12)1p\mathrm{Median}(X)=a\text{P}^{-1}\left(\frac{d}{p},\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{p}}

Moda paramétrica

Mode(X)=a(d−1p)1pif d>1\mathrm{Mode}(X)=a\left(\frac{d-1}{p}\right)^{\frac{1}{p}} \quad \text{if } d>1

Información y definiciones adicionales

a:Scale parametera:\text{Scale parameter}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
P(a,x)=γ(a,x)Γ(a):Regularized lower incomplete gamma function\text{P}\left(a,x\right)=\frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}:\text{Regularized lower incomplete gamma function}
P−1(a,u):Inverse of regularized lower incomplete gamma function\text{P}^{-1}\left(a,u\right):\text{Inverse of regularized lower incomplete gamma function}
γ(a,x):Lower incomplete gamma function\gamma\left(a,x\right):\text{Lower incomplete gamma function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}