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Distribución Beta Prime 4P

Qué representa

Beta Prime 4P añade localización y escala a la Beta prime. Conserva la lectura de una razón positiva, pero permite que el origen observado esté desplazado y que la unidad de medida no quede fijada.

Pista histórica

La etiqueta “4P” es una convención de software para señalar cuatro parámetros, no un nombre histórico independiente. La familia subyacente corresponde a Beta tipo II o Pearson tipo VI.

Relaciones que aclaran su uso

Se relaciona con Beta prime de dos parámetros por una transformación afín. También se conecta con la distribución F y con modelos Burr/Dagum; esas equivalencias dependen de la parametrización y de posibles factores de escala.

Ejemplos de datos

  • cocientes positivos con un umbral de medición
  • modelos de ingreso o tamaño cuando hay una unidad y un origen específicos

Advertencia de modelado

Un loc estimado cerca del mínimo de la muestra es inestable; conviene contrastarlo con datos censurados, precisión de medida y sensibilidad del ajuste.

Odds con otro cero y otra unidad

Beta Prime 4P aplica localización y escala a una razón Beta Prime estándar. Esta libertad permite representar un cociente medido desde un piso no nulo o expresado en unidades distintas. La transformación conserva la forma de la cola del exceso.

Lo que no conserva automáticamente es la historia de odds o de cociente Gamma. Sumar una localización a una razón cambia su interpretación algebraica, y una escala arbitraria debe corresponder a las unidades del problema. Cerca del límite, loc compite con el parámetro que controla la masa inicial; en la cola, la forma decide qué momentos existen. Un análisis de sensibilidad con la versión sin localización ayuda a separar necesidad física de flexibilidad estadística.

Guía de elección

Buena candidata cuando: se necesita la flexibilidad de Beta Prime pero el soporte comienza en un umbral físico distinto de cero y requiere una escala propia.

Compárala con: la Beta Prime sin desplazamiento antes de liberar loc. El parámetro adicional debe corresponder a un límite interpretable; de lo contrario puede perseguir el mínimo muestral.

Referencias

Distribución Beta Prime 4P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼BetaPrime4P(α,β,Loc,Sc)X\sim\mathrm{BetaPrime}_{\mathrm{4P}}\left(\alpha,\beta,\text{Loc},\text{Sc}\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in [\text{Loc},\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,β∈R+,Loc∈R,Sc∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\beta\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\text{Sc}\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=I(z(x)1+z(x),α,β)F_{X}\left(x\right)=I\left(\frac{z(x)}{1+z(x)},\alpha,\beta\right)

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=z(x)α−1(1+z(x))−α−βSc×Beta(α,β)f_{X}\left(x\right)=\frac{z(x)^{\alpha-1} (1+z(x))^{-\alpha -\beta}}{\text{Sc}\times \text{Beta}(\alpha,\beta)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+ScI−1(u,α,β)1−I−1(u,α,β)F^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{I^{-1}\left(u,\alpha,\beta\right)}{1-I^{-1}\left(u,\alpha,\beta\right)}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=Γ(k+α)Γ(β−k)Γ(α)Γ(β)if β>k\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\frac{\Gamma\left(k+\alpha\right)\Gamma\left(\beta-k\right)}{\Gamma\left(\alpha\right)\Gamma\left(\beta\right)} \quad \text{if }\beta>k

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+Scμ~1′=Loc+Scαβ−1if β>1\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{\alpha}{\beta-1} \quad \text{if }\beta>1

Varianza paramétrica

Variance(X)=Sc2(μ~2′−μ~1′2)=Sc2α(α+β−1)(β−2)(β−1)2if β>2\mathrm{Variance}(X)=\text{Sc}^{2}(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\text{Sc}^{2}\frac{\alpha(\alpha+\beta-1)}{(\beta-2)(\beta-1)^2} \quad \text{if }\beta>2

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=2(2α+β−1)β−3β−2α(α+β−1)if β>3\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{2(2\alpha+\beta-1)}{\beta-3}\sqrt{\frac{\beta-2}{\alpha(\alpha+\beta-1)}} \quad \text{if }\beta>3

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2if β>4\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}} \quad \text{if }\beta>4

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+ScI−1(12,α,β)1−I−1(12,α,β)\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{I^{-1}\left(\frac{1}{2},\alpha,\beta\right)}{1-I^{-1}\left(\frac{1}{2},\alpha,\beta\right)}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+Scα−1β+1\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\text{Sc}\frac{\alpha-1}{\beta+1}

Información y definiciones adicionales

X~∼BetaPrime(α,β)\tilde{X}\sim \mathrm{BetaPrime}\left( \alpha,\beta \right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
Sc:Scale parameter\text{Sc}:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/Scz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\text{Sc}
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
I(x,a,b):Regularized incomplete beta functionI\left(x,a,b\right):\text{Regularized incomplete beta function}
I−1(x,a,b):Inverse of regularized incomplete beta functionI^{-1}\left(x,a,b\right):\text{Inverse of regularized incomplete beta function}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}
Beta(x,y):Beta function\text{Beta}\left(x,y\right):\text{Beta function}