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Distribución Bradford

Vista rápida

Bradford es una distribución continua acotada cuya densidad decrece suavemente desde el límite inferior. Su parámetro de forma controla cuán desigual es la concentración dentro del intervalo.

Si vienes de otra distribución

En el límite de forma pequeña se aproxima a la uniforme sobre el intervalo. Por su soporte finito y asimetría moderada puede competir con Beta, triangular o trapezoidal, pero su mecanismo logarítmico es diferente.

Historia y terminología

El modelo fue introducido por R. Bradford en el contexto de la dispersión de artículos científicos por revistas. La ley de Bradford en bibliometría describe zonas de productividad, mientras que esta distribución es una representación continua asociada a ese fenómeno.

Una situación conocida

Puede servir como modelo descriptivo de una magnitud distribuida a lo largo de un rango conocido, especialmente cuando una parte del intervalo recibe más observaciones por una regla multiplicativa. La aplicación bibliométrica original no implica que todo recuento de citas sea continuo.

Para ajustar con criterio

Si min y max son límites de una escala ordinal o de un recuento discretizado, una distribución continua puede ser una aproximación y no el modelo generativo literal.

De estantes de revistas a una ley acotada

S. C. Bradford observó en 1934 que los artículos sobre un tema se dispersaban de manera desigual entre revistas: un núcleo pequeño producía mucho y una larga periferia aportaba poco. Leimkuhler y después Morse con Leimkuhler expresaron esa ley bibliométrica mediante una distribución exacta de relación logarítmica.

En su forma continua acotada, el parámetro c inclina la masa hacia uno de los límites y la Uniforme aparece cuando c tiende a cero. La genealogía informacional da una aplicación concreta, pero la curva también puede usarse fenomenológicamente en otros intervalos. Allí conviene explicar por qué una caída recíproca lineal representa el mecanismo, en vez de elegirla solo por su nombre poco común.

Guía de elección

Buena candidata cuando: los datos están acotados y muestran una inclinación monotónica sencilla hacia uno de los extremos, sin moda interior.

Compárala con: Triangular, Power Function y Beta. Si aparecen curvaturas distintas en ambos bordes o una moda interior, el único parámetro de forma de Bradford será demasiado restrictivo.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.bradford — definición y parametrización

  • Morse, P. M. & Leimkuhler, F. F. (1979). Exact solution for the Bradford distribution and its use in modeling informational data. Operations Research, 27(1), 187–198.

  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.

  • Evans, M., Hastings, N. & Peacock, B. (2000). Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley.

  • Bradford, S. C. (1934). Sources of information on specific subjects. Engineering, 137, 85–86.

Distribución Bradford: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Bradford(c,min,max)X\sim\mathrm{Bradford}\left(c,\text{min},\text{max}\right)

Dominio de distribución

x∈(min,max)x\in\left(\text{min},\text{max}\right)

Dominio y restricciones de parámetros

c∈R+,min∈R,max∈R,min<maxc\in\mathbb{R}^{+},\text{min}\in\mathbb{R},\text{max}\in\mathbb{R},\text{min} < \text{max}

Función de distribución acumulada

FX(x)=ln⁡(1+c⋅z(x))kF_{X}\left(x\right)=\frac{\ln\left(1+c\cdot z(x)\right)}{k}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=ck(1+c⋅z(x))(max−min)f_{X}\left(x\right)=\frac{c}{k\left(1+c\cdot z(x)\right)\left(\text{max}-\text{min}\right)}

Función de punto percentil

FX−1(u)=min+(max−min)×(1+c)u−1cF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{min}+(\text{max}-\text{min})\times \frac{\left(1+c\right)^{u}-1}{c}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫01xkfX~(x)dx\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{1}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx

Media paramétrica

Mean(X)=min+(max−min)⋅μ~1′=min+(max−min)⋅c−kck\mathrm{Mean}(X)=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\cdot\tilde{\mu}'_{1}=\text{min}+\left(\text{max}-\text{min}\right)\cdot\frac{c-k}{ck}

Varianza paramétrica

Variance(X)=(max−min)2⋅(μ~2′−μ~1′2)=(max−min)2⋅(c+2)k−2c2ck2\mathrm{Variance}(X)=\left(\text{max}-\text{min}\right)^{2}\cdot(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})=\left(\text{max}-\text{min}\right)^{2}\cdot\frac{\left(c+2\right)k-2c}{2ck^{2}}

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5=2(12c2−9kc(c+2)+2k2(c(c+3)+3))c(c(k−2)+2k)(3c(k−2)+6k)\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}=\frac{\sqrt{2}\left(12c^{2}-9kc\left(c+2\right)+2k^{2}\left(c\left(c+3\right)+3\right)\right)}{\sqrt{c\left(c\left(k-2\right)+2k\right)}\left(3c\left(k-2\right)+6k\right)}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2=3+c3(k−3)(k(3k−16)+24)+12kc2(k−4)(k−3)+6ck2(3k−14)+12k33c(c(k−2)+2k)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}=3+\frac{c^{3}\left(k-3\right)\left(k\left(3k-16\right)+24\right)+12kc^{2}\left(k-4\right)\left(k-3\right)+6ck^{2}\left(3k-14\right)+12k^{3}}{3c\left(c\left(k-2\right)+2k\right)^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=min+(max−min)⋅(1+c)frac12−1c\mathrm{Median}(X)=\text{min}+(\text{max}-\text{min})\cdot\frac{\left(1+c\right)^{frac{1}{2}}-1}{c}

Moda paramétrica

Mode(X)=min\mathrm{Mode}(X)=\text{min}

Información y definiciones adicionales

X~∼Bradford(c,0,1)\tilde{X}\sim\mathrm{Bradford}\left(c,0,1\right)
k=ln⁡(1+c)k=\ln(1+c)
z(x)=(x−min)/(max−min)z\left(x\right)=\left(x-\text{min}\right)/\left(\text{max}-\text{min}\right)
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}