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Distribución Weibull 3P

Por qué existe

Weibull 3P añade un umbral de localización a la familia de vida de Weibull. Permite distinguir un tiempo mínimo antes de que el riesgo de fallo comience a actuar.

Nombre alternativo

También se conoce como three-parameter Weibull, shifted Weibull o Weibull con vida mínima.

Construcciones y límites

Con loc=0 se reduce a Weibull de dos parámetros. Compite con Gamma 3P y Exponential 2P para tiempos con latencia; el parámetro de forma mantiene la lectura de envejecimiento.

Aplicaciones

Un loc físico puede representar el tiempo antes de que una pieza acumule daño. En análisis de resistencia, puede ser el límite teórico por debajo del cual no ocurre fractura; ambos casos requieren evidencia del proceso.

El parámetro de localización es notoriamente difícil de identificar con muestras pequeñas y puede producir ajustes muy distintos con la misma masa central.

El tentador umbral de fallo

Añadir loc permite afirmar que ningún fallo ocurre antes de cierto tiempo o nivel de resistencia. Esa afirmación puede ser física, como una carga mínima incapaz de romper una pieza, o administrativa, como un periodo de preparación que precede a la exposición.

El umbral es tentador porque suele acercarse al menor dato y mejorar el ajuste visible. También puede absorber redondeo, selección de muestra o una cola izquierda mal descrita. La estimación por máxima verosimilitud presenta dificultades conocidas y la incertidumbre de loc puede ser muy asimétrica. Un análisis responsable compara dos y tres parámetros, examina el perfil de verosimilitud y evita interpretar el mínimo observado como si fuera un límite natural conocido.

Guía de elección

Buena candidata cuando: las vidas Weibull comienzan después de un umbral físico de funcionamiento o resistencia.

Compárala con: Weibull sin desplazamiento. La Weibull 3P es sensible al menor fallo; confirma el umbral con ingeniería y perfiles de verosimilitud antes de extrapolar fiabilidad.

Referencias

  • Referencia de SciPy: scipy.stats.weibull_min — definición y parametrización
  • Johnson, N. L., Kotz, S. & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, 2nd ed., Vol. 1. Wiley.
  • Weibull, W. (1951). A statistical distribution function of wide applicability. Journal of Applied Mechanics, 18, 293–297.
  • Lawless, J. F. (2003). Statistical Models and Methods for Lifetime Data, 2nd ed. Wiley.

Distribución Weibull 3P: ecuaciones y calculadora

Definición de distribución

X∼Weibull3P(α,Loc,β)X\sim\mathrm{Weibull_{3P}}\left(\alpha,\text{Loc},\beta\right)

Dominio de distribución

x∈[Loc,∞)x\in [\text{Loc},\infty)

Dominio y restricciones de parámetros

α∈R+,Loc∈R,β∈R+\alpha\in\mathbb{R}^{+},\text{Loc}\in\mathbb{R},\beta\in\mathbb{R}^{+}

Función de distribución acumulada

FX(x)=1−e−z(x)αF_{X}\left(x\right)=1-e^{-z(x)^\alpha}

Función de densidad de probabilidad

fX(x)=αβz(x)α−1e−z(x)αf_{X}\left(x\right)=\frac{\alpha}{\beta}z(x)^{\alpha-1}e^{-z(x)^\alpha}

Función de punto percentil

FX−1(u)=Loc+β(−ln⁡(1−u))1/αF^{-1}_{X}\left(u\right)=\text{Loc}+\beta(-\ln(1-u))^{1/\alpha}

Momentos paramétricos no centrados

μ~k′=E[X~k]=∫0∞xkfX~(x)dx=βαΓ(1+kα)\tilde{\mu}'_{k}=E[\tilde{X}^k]=\int_{0}^{\infty}x^{k}f_{\tilde{X}}\left(x\right)dx=\beta^\alpha \Gamma\left(1+\frac{k}{\alpha}\right)

Media paramétrica

Mean(X)=Loc+μ~1′=Loc+β Γ(1+1/α)\mathrm{Mean}(X)=\text{Loc}+\tilde{\mu}'_{1}=\text{Loc}+\beta \ \Gamma(1+1/\alpha)

Varianza paramétrica

Variance(X)=μ~2′−μ~1′2=β2[Γ(1+2/α)−(Γ(1+1/α))2]\mathrm{Variance}(X)=\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1}=\beta^2\left[\Gamma\left(1+2/\alpha\right)-\left(\Gamma\left(1+1/\alpha\right)\right)^2\right]

Coeficiente de asimetría paramétrico

Skewness(X)=μ~3′−3μ~2′μ~1′+2μ~1′3(μ~2′−μ~1′2)1.5\mathrm{Skewness}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{3}-3\tilde{\mu}'_{2}\tilde{\mu}'_{1}+2\tilde{\mu}'^{3}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{1.5}}

Curtosis paramétrica

Kurtosis(X)=μ~4′−4μ~1′μ~3′+6μ~1′2μ~2′−3μ~1′4(μ~2′−μ~1′2)2\mathrm{Kurtosis}(X)=\frac{\tilde{\mu}'_{4}-4\tilde{\mu}'_{1}\tilde{\mu}'_{3}+6\tilde{\mu}'^{2}_{1}\tilde{\mu}'_{2}-3\tilde{\mu}'^{4}_{1}}{(\tilde{\mu}'_{2}-\tilde{\mu}'^{2}_{1})^{2}}

Mediana paramétrica

Median(X)=Loc+β(ln⁡(2))1/α\mathrm{Median}(X)=\text{Loc}+\beta(\ln(2))^{1/\alpha}

Moda paramétrica

Mode(X)=Loc+{β(α−1α)1/αif α>10if α≤1\mathrm{Mode}(X)=\text{Loc}+\left\{\begin{array}{cl} \beta\left(\frac{\alpha-1}{\alpha}\right)^{1/\alpha} & \text{if }\alpha>1\\ 0 & \text{if } \alpha\leq 1 \end{array} \right.

Información y definiciones adicionales

X~∼Weibull(α,β)\tilde{X}\sim\mathrm{Weibull}\left(\alpha,\beta\right)
Loc:Location parameter\text{Loc}:\text{Location parameter}
β:Scale parameter\beta:\text{Scale parameter}
z(x)=(x−Loc)/βz\left(x\right)=\left(x-\text{Loc}\right)/\beta
u:Uniform[0,1] random varibleu:\text{Uniform[0,1] random varible}
Γ(x):Gamma function\Gamma\left(x\right):\text{Gamma function}